Откуда появляется гладкость после преобразования?

[Verbery]

Всем привет! Читаю учебник Б.Т. Поляка "Введение в оптимизацию" с. 317-318. Это раздел про геометрическое программирование. И там написано, что сумма функций вида: $f(x) = \sum_{j=1}^N a_j x_1^{b_1} x_2^{b_2} ... x_n^{b_n}$, где $a>0, \ x>0$, не является выпуклой функцией. Но вот если мы приведём каждое такое слагаемое (они называются мономы, а сумма мономов называется позиномом) к виду

$$g(x) = \sum_{j=1}^N a_j \exp(b_1 \ln{x_1} + b_2 \ln{x_2} + ... + b_n \ln{x_n})$$

то функция становится выпуклой?! Но как так? Ведь $f(x) = g(x)$, почему вдруг функция изменила свои свойства? Почему из невыпуклой она превратилась в выпуклую? Может это как-то связано с тем, что $f(x)$ не гладкая в некоторых точках, а $g(x)$ гладкая везде?

Вот прикрепляю этот отрывок из учебника: https://i.ibb.co/xqQQKFb/gp-polyak.jpg

[mihaild]

Там берется другая функция, $g(z) = \sum a_j\exp(\sum b_i z_i)$ - без логарифмов. Так что $f(x) = g(\ln x)$, ну или $g(z) = f(\exp(z))$. Вполне нормальная ситуация, что $f$ невыпукла, а $f \circ \exp$ выпукла.

[Verbery]

mihaild
Спасибо за ценное замечание!

[worm2]

Что касается гладкости, то функции обе гладкие, если мы рассматриваем область $x_i>0$ (мы же такую область рассматриваем?). Для $z_i$ нет ограничений.

[Verbery]

worm2 в сообщении #1639437 писал(а):

Что касается гладкости, то функции обе гладкие, если мы рассматриваем область $x_i>0$ (мы же такую область рассматриваем?). Для $z_i$ нет ограничений.

Да, тут ещё в заголовке темы ошибка "Откуда появляется выпуклость после преобразования?", а не "Откуда появляется гладкость после преобразования?"

[Евгений Машеров]

Там аргументы функции поменялись. У преобразованной аргументы - логарифмы аргументов исходной.