Параметрическое уравнение, область определения.

[Neznajka_]

Есть задание - "решить уравнение относительно y".

$ \frac{y-m}{m} - 4 = \frac{y-4}{4} - m $

Моё решение:

$ m\ne 0 ; $
Если $ при m\ne 4$, то
$ y=\frac{4m(4-m)}{4-m}= 4m $
Ответ: при $m = 0 $ уравнение теряет смысл, при $ m = 4 $y\in R$, при $m\ne4$ $y=4m$

Вопрос насчет этого:
$ y=\frac{4m(4-m)}{4-m} $
Если параметр равен 4, и подставить это значение, то получим уравнение
$ y=\frac{0}{0} $
И тут я теряюсь т.к. с одной стороны вроде выглядит правильно, но с другой стороны привык считать дробь $\frac{0}{0}$ бессмысленной.
Является ли с формальной (с точки зрения математического языка) точки зрения нормальной (имеющей смысл) запись $ y=\frac{0}{0} $
при том, что правая часть сама по себе не имеет смысла? Или имеет?...

[svv]

Нет, при $m=4$ такая запись смысла не имеет, и потому не стоит приводить уравнение к такому виду.
Вместо этого домножьте обе части уравнения на $4m$. При $m\neq 0$ это эквивалентное преобразование. После этого уравнение приводится к $(y-4m)(m-4)=0$. И теперь рассмотрите два варианта: $m\neq 4$ и $m=4$.

[Neznajka_]

Понял, спасибо большое.

[Neznajka_]

Вновь здравствуйте, ещё такой вопрос.

Для уравнения с параметром понятия "допустимое значение параметра" и "область определения" - различны по смыслу т.к. первое может включать смысловые ограничения условия задачи, а второе включает ограничения лишь для уравнения самого по себе, верно?
Например, если $x $ - это количество учеников в классе, а $a$ - количество парт, и $x = 2a$, то областью определения параметра $a$ являются все действительные числа, но допустимое значение параметра $a$ находится в натуральных числах.