А область, удовлетворяющая ограничениям, односвязная?
Да, и более того, я поисследовал ее численно, оказывается множество значений
![$\mathbf{g}$ $\mathbf{g}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f3cc59831e6b4aef298a2dacada3fe782.png)
еще и выпукло, к моему удивлению. Так что со стороны этой функции и ограничений все даже очень хорошо.
На данный момент я сталкиваюсь с проблемами сходимости даже в случаях, когда ни один из иксов не идет к нулю или к границе. Однако, посидев с ручкой, я выяснил, что матрица вторых происходных моего функционала необходимо вырождена всюду. Это значит, что функционал даже локально не квадратичный, видимо это проблема для методов оптимизации, ориентированных на положительно определенную матрицу вторых производных функции Лагранжа. Хотя матрица вторых производных функции Лагражна и целевой функции не совпадают, но возможно это какое-то влияние оказывает. Повторюсь, что если функционал брать квадратичным, сходимость наблюдается очень быстрая. К сожалению, выбор функционала именно как суммы норм, а не квадратов, делает задачу содержательной предметно.
Из ответов в теме я также понял, что нужно активно смотреть в сторону регуляризации задачи. Раз в квадратичном смысле все сходится, значит надо переходить в переменные
![$\mathbf{y}$ $\mathbf{y}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/a/1da18d2de6d16a18e780cd6c435a293682.png)
такие, что
![$|\mathbf{x}|=|\mathbf{y}|^2$ $|\mathbf{x}|=|\mathbf{y}|^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a209c16b7faa22873806d0f99a2fddb582.png)
. То есть преобразования типа Леви-Чивита. Вообще было бы здорово иметь обзор регуляризационных методов, вдруг у кого-то есть, был бы признателен за ссылку. Но опять же, одно дело решить, а другое -- все же разобраться на фундаментальном уровне, в чем проблема.