Среднее значение - до 00 или 111...111

[artempalkin]

Допустим, я бросаю монетку и пишу $1$, если выпал орел, и $0$, если выпала решка. Бросаю я до тех пор, пока не выпадет подряд два нуля или подряд $n$ единиц. Сколько в среднем бросков мне потребуется до окончания игры? Какова вероятность, что я закончу именно единицами?

Эту задачу сам придумал (обобщил более простую), сам решил тоже, может, кому-то будет интересно решить.

[Shadow]

У меня получилось:

$E=\dfrac{3(2^n-1)}{2^{n-1}+1}$

$p=\dfrac{3}{2^n+2}$

[Shadow]

В более общем случае, если для окончания нужны $k$ орлов, либо $n$ решек подряд, то мат. ожидание количества бросков

$E=\dfrac{(2^k-1)(2^n-1)}{2^{k-1}+2^{n-1}-1}$