Треугольник Паскаля и простые числа

[Cantata]

Здравствуйте!
В свободное время иногда пытаюсь объять необъятное.
Так как я больше лирик, чем физик, поэтому прошу все мои умозаключения
воспринимать снисходительно, по возможности.

Некоторое время назад заинтересовалась свойствами треугольника Паскаля.
Известно, что если номер строки - это простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Удивил тот факт, что в каждой строке, если числа, идущие в этой строке разобрать на простые множители в первой степени,
простые числа идут подряд, либо почти подряд.

Например, возьмем, допустим, 12 строку, вот часть чисел, которые в ней содержатся:

1,12,66,220,495,792,924; и вот простые числа, которые являются их множителями: 2,3,5,7,11

Некоторые строки включают в себя все простые числа, идущие подряд до ближайшего простого числа.
Чем ниже строка, тем, соответственно больше простых чисел.

Общей закономерности не смогла выявить.
Единственное, видно, что это каким-то образом связано со степенями двойки.
Думаю, что этот факт давно известен, просто мне пока не попался на просторах интернета.
Поэтому решила поделиться.

К сожалению не знаю как вставить картинку,
тогда просто перепишу часть множителей:

2 - относится к строке 1,2,1
3 - к строке 1,3,3,1
2,3 - 1,4,6,4,1 и т.д.
2,5
2,3,5
3,5,7
2,5,7
2,3,7
2,3,5,7
2,3,5,7,11
2,3,5,7,11
2,3,5,11,13
2,3,7,11,13
3,5,7,11,13
2,3,5,7,11,13
2,5,7,11,13,17
2,3,5,7,11,13,17
2,3,7,13,17,19
2,3,5,11,13,17,19
2,3,5,7,13,17,19
2,3,5,7,11,13,17,19
2,3,5,7,11,13,17,19,23 - к строке 23

-- 01.05.2024, 14:34 --

Ещё интересно, что радикал строки навевает на мысли о гипотезе ABC.

6 = 2*3
10 = 2*5
30 = 2*3*5
105 = 3*5*7
70
42
210
2310
2310
4290
6006
15015
30030

Прошу прощения, что не очень удобно информацию пишу, с картинками пока так и не разобралась.

[dgwuqtj]

Простое число $p$ делит биномиальный коэффициент $C_n^k$ ровно в такой степени, сколько переносов возникает при сложении $k$ и $n - k$ в $p$-ричной системе счисления (это известный факт). Вам интересно, при каких $n$ и $p$ число $p$ делит хотя бы один из $C_n^k$. Понятно, что всегда, кроме тех случаев, когда все цифры $n$, кроме старшей, равны $p - 1$ (в $p$-ричной системе счисления). Другими словами, при $n \neq a p^b - 1$ ни для каких $1 \leq a \leq p - 1$ и $b \geq 0$.

[Cantata]

dgwuqtj, благодарю за ответ!

Мне интересны те строки, которые образую все простые множители подряд без пропусков.
Разобраться в их полноте, которая приводит к следующему простому числу.

[mathematician123]

Cantata в сообщении #1637717 писал(а):

Мне интересны те строки, которые образую все простые множители подряд без пропусков.
Разобраться в их полноте, которая приводит к следующему простому числу.

Из критерия dgwuqtj следует, что подойдут строки с номером $n$, если число $n + 1$ простое.

[Cantata]

mathematician123, да, действительно, благодарю!