Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник

[reterty]

И все же есть здесь подводный камень, причем очень своеобразный. Поверхность проводника это не только ограничение для системы конечного числа дискретных зарядов. Она характеризуется также наличием некоего подобия двумерного электронного газа. В присутствии изначально устойчивой равновесной конфигурации системы дискретных зарядов, на поверхности проводника наведется также поверхностный заряд, распределенный непрерывно и неравномерно вдоль поверхности металла. Спрашивается: изменится ли эта конфигурация дискретной системы? Ежели изменится, то как учесть эффект электростатической индукции? Доподлинно известно лишь одно: после появления индуцированного поверхностного заряда потенциал во всех точках поверхности станет одинаковым.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1637642 писал(а):

Рассуждения должны учитывать не только то, что представляет из себя функция в данной точке, но и то, как она ведёт себя в её окрестности.

Суть в том, что если мы рассматриваем поведение функции сугубо в одной точке, то то, что эта функция удовлетворяет в этой точке уравнению Лапласа, ещё не означает, что эта функция гармоническая в этой точке. Как и аналитическая функция, гармоническая должна рассматриваться в некотором открытом множестве.

На всякий случай приведу тут ещё одно популярное обоснование теоремы Ирншоу. Если положение некоторого свободного заряда устойчиво во внешнем поле, то существует достаточно малая окрестность этой точки (допустим, шаровая), на поверхности которой все векторы поля направлены в одну сторону (это кажется очевидным, но всё-таки хорошо бы это обосновать). Тогда поток вектора поля по поверхности этой шаровой окрестности отличен от нуля. Значит где-то внутри этой окрестности есть заряд внешнего поля. Что есть противоречие.

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #1637728 писал(а):

рассматриваем поведение функции сугубо в одной точке

То есть, её значение в этой точке?

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1637744 писал(а):

То есть, её значение в этой точке?

Нет. Имеется в виду (я приводил пример), что если у функции зануляется лапласиан в некоторой изолированной точке, мы не говорим, что функция есть гармоническая в этой точке.

Аналог - функция не может быть аналитическая сугубо в одной точке $z=0$ .

[Утундрий]

А, то есть под "поведением функции в точке" понимается ещё и значения всех её производных в этой точке.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1637746 писал(а):

А, то есть под "поведением функции в точке" понимается ещё и значения всех её производных в этой точке.

Вообще-то я говорил только про первые две производные. Нужны ли нам более высокие производные, я не знаю.

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #1637747 писал(а):

я говорил только про первые две производные

Достаточно и первой одной. Даже её нельзя получить, рассматривая функцию в одной только точке.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1637752 писал(а):

Достаточно и первой одной. Даже её нельзя получить, рассматривая функцию в одной только точке.

"Поведение функции в одной точке" - это не научный термин (к нему формальных претензий не может быть в принципе). Поэтому я далее разъяснил свои слова как мог:

мат-ламер в сообщении #1637728 писал(а):

то, что эта функция удовлетворяет в этой точке уравнению Лапласа, ещё не означает, что эта функция гармоническая в этой точке. Как и аналитическая функция, гармоническая должна рассматриваться в некотором открытом множестве.

Извините, если мои слова получились непонятными.