В группе 2 разные пары элементов могут давать один ответ?

[Alex_bx]

Могут ли в группе 2 разные пары элементов давать одино и то же произведение? Пробую прийти к противоренчию из определения группы, но не получается.
Могут ли 2 разных элемента в произведении с одним и тем же дать одинаковый ответ?

[Dedekind]

Alex_bx в сообщении #1636749 писал(а):

Могут ли в группе 2 разные пары элементов давать одино и то же произведение?

Могут, конечно: 1+0 = 1, 2+3 = 1 (группа вычетов по модулю 4)

Alex_bx в сообщении #1636749 писал(а):

Могут ли 2 разных элемента в произведении с одним и тем же дать одинаковый ответ?

А тут не могут. Если $ab = ac$, то неизбежно $b = c$.

[Deathrose]

Alex_bx в сообщении #1636749 писал(а):

Могут ли 2 разных элемента в произведении с одним и тем же дать одинаковый ответ?

Могут, если группа некоммутативна. Например, в любой некоммутативной группе два сопряженных элемента будут таковыми (они не всегда совпадают), т.е. $a=c^{-1}bc$. В группе обратимых матриц размера два подойдут примеры $ A=[1,1;0,1], B=[1,0;1,1], C=[0,1;1,1]$ (матрицы обозначены последовательностью строк). Тогда $CA = BC$.

-- 18.04.2024, 13:17 --

Dedekind в сообщении #1636755 писал(а):

тут не могут. Если $ab = ac$, то неизбежно $b = c$.

Это только если умножать с одной стороны или если группа коммутативна.

[Dedekind]

Deathrose в сообщении #1636763 писал(а):

Это только если умножать с одной стороны или если группа коммутативна.

Да, верно, спасибо за уточнение.

[Alex_bx]

Спасибо за обстоятельные ответы. Как я понял, очень важным свойством группы является то, что если последовательно перемножить все элементы на какой-то заданный, то в ответах будут все элементы группы. Это вытекает из единственности единичного и обратного. А как это показать?
И ещё один вопрос, из единственности единицы вытекает ли её двусторонность?

И можете ли подсказать, где можно почитать, про структуры с множеством единиц?

[mihaild]

Alex_bx в сообщении #1636942 писал(а):

Это вытекает из единственности единичного и обратного. А как это показать?

Единственность единичного тут не нужна, достаточно ассоциативности и существования обратного. Вот так и показать - взять пару элементов $a$ и $b$ и показать, что уравнение $ax = b$ разрешимо.

[dgwuqtj]

Alex_bx в сообщении #1636942 писал(а):

И можете ли подсказать, где можно почитать, про структуры с множеством единиц?

Любая книга про полугруппы, например. Скажем, на любом множестве $X$ можно ввести умножение $ab = a$, оно ассоциативное и любой элемент будет односторонней единицей.

[iifat]

Alex_bx в сообщении #1636942 писал(а):

из единственности единицы вытекает ли её двусторонность?

В нескольких учебниках, что я читал, это одна из первых теорем касательно групп. Стесняюсь спросить, вы по какой книге вообще группы изучаете?

[Alex_bx]

iifat в сообщении #1636972 писал(а):

В нескольких учебниках, что я читал, это одна из первых теорем касательно групп. Стесняюсь спросить, вы по какой книге вообще группы изучаете?

Для меня очевидно только, что если существует левая и правая единицы в полугруппе, то единица единственна. $\mathbf{e=er=r}$, где $\mathbf{e}$ и $\mathbf{r}$ левая и правая единицы соответственно. Читаю введение в алгебру Кострыкина.

[iifat]

Действительно, кострыкин решил не углубляться (может, в третьем томе?). Не могу вспомнить, но всё это доказывается — и единственность единицы, и то, что левая является и правой, и то же про обратные. Не помню, где. Поищу.

[EminentVictorians]

Alex_bx в сообщении #1636942 писал(а):

И ещё один вопрос, из единственности единицы вытекает ли её двусторонность?

Единица (просто единица) по определению двусторонняя. А уж её единственность или неединственность - вопрос десятый.

Мне еще нравится такой сюжет, что для задания группы достаточно существования только правой (левой) единицы и правого (соответственно, левого) обратного (ну и плюс ассоциативность, разумеется). Этого уже достаточно.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1637444 писал(а):

Единица (просто единица) по определению двусторонняя

Есть разные варианты определения группы. Про некоторые их них вы, как это следует из дальнейшего, слышали. Есть, помнится, даже вообще без единицы — вместо единицы и обратного только требование существования решения уравнения $ax=b$. Всё прочее из этого выводится.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1637531 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1637444 писал(а):

Единица (просто единица) по определению двусторонняя

Есть разные варианты определения группы.

Чтобы определить единицу, про группы знать не обязательно. Это отдельное самостоятельное определение. Единицей $e$ данной бинарной операции

$$\cdot: M^2 \to M$$

называется такой элемент $e \in M$, что $e \cdot m = m \cdot e = m$ ($\forall m \in M$)

Можно определять единицу не как элемент, а как (нульарную) операцию на множестве $M$ (мне, к слову, так больше нравится).

iifat в сообщении #1637531 писал(а):

Есть, помнится, даже вообще без единицы — вместо единицы и обратного только требование существования решения уравнения $ax=b$. Всё прочее из этого выводится.

Этого мало, нужно еще существование решения уравнения $ya = b$.

[iifat]

EminentVictorians в сообщении #1637532 писал(а):

Этого мало

Вот как раз и доказывается, что не мало. Из разрешимости первого для всех доказывается разрешимость второго. Не, надо всё ж поискать...

-- 29.04.2024, 22:36 --

А, нашёл, и нет. Существование левых и правых частных.