Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник

[svv]

reterty в сообщении #1637224 писал(а):

Но заряды, распределенные на поверхности проводника вполне себе находятся в состоянии устойчивого равновесия..... неужто тут все дело в наличии поверхностного констрейнта на движения зарядов?

Конечно, дело не только в "констрейнте", ведь не любое поверхностное распределение заряда является равновесным. Однако (при условиях, которые я перечислял выше) существует такое поверхностное распределение заряда, при котором на любой заряд со стороны остальных зарядов действует равнодействующая сила, направленная по внешней нормали к поверхности. Тангенциальная же компонента силы равна нулю. Вот роль констрейнта в том, что при выполнении этого условия будет равновесие.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.

Вроде первоначальный вопрос заключался не в этом. Предположим, что заряд с поверхности не может "слететь" принципиально. Вопрос в том, почему, оставаясь на поверхности, заряд сохраняет положение устойчивого равновесия? Рассмотрим такую модельную ситуацию (в которой, правда, поверхность заменена линией). Пусть у нас есть бесконечный провод, по которому могут двигаться заряды. Два положительных заряда на нём закреплены. Третий положительный заряд расположен посередине между ними. Будет ли его положение равновесия устойчиво?

В качестве аналогии предлагаю рассмотреть такую математическую задачу. Пусть у нас есть функция $f(x,y)=xy$ . Будет ли начало координат тут точкой локального экстремума? А если мы введём ограничение $x=y$ ? (То есть будем рассматривать нашу функцию только на некоторой прямой).

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1637292 писал(а):

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.

Вроде первоначальный вопрос заключался не в этом. Предположим, что заряд с поверхности не может "слететь" принципиально. Вопрос в том, почему, оставаясь на поверхности, заряд сохраняет положение устойчивого равновесия? Рассмотрим такую модельную ситуацию (в которой, правда, поверхность заменена линией). Пусть у нас есть бесконечный провод, по которому могут двигаться заряды. Два положительных заряда на нём закреплены. Третий положительный заряд расположен посередине между ними. Будет ли его положение равновесия устойчиво?

В качестве аналогии предлагаю рассмотреть такую математическую задачу. Пусть у нас есть функция $f(x,y)=xy$ . Будет ли начало координат тут точкой локального экстремума? А если мы введём ограничение $x=y$ ? (То есть будем рассматривать нашу функцию только на некоторой прямой).

Ваш комментарий это как раз именно то что мне нужно! Ответ на Вашу математическую задачу: нет. во втором случае-да! Можно даже рассмотреть такую более приближенную к реальности задачу: два одинаковых одноименных заряда расположены на поверхности бесконечно тонкого кольца. Будет ли конфигурация, при которой заряды находятся в диаметрально противоположных точках кольца равновесной и устойчивой, если позволить зарядам покидать кольцо? А если ввести ограничение возможности расположения зарядов лишь на кольце?
Возможность существования равновесной устойчивой конфигурации произвольной системы дискретных зарядов на поверхности проводника можно обосновать, исходя из чисто физических соображений. Если бы такой конфигурации не существовало, то заряды все время как-то перемещались, существовал бы ток и постоянно выделялось джоулево тепло. Но это противоречило бы закону сохранения энергии. Поэтому такая конфигурация обязательно существует!
К сожалению, я совершенно не знаком с основными положениями теории компактных подпространств. Так что если просветите-буду премного благодарен.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637323 писал(а):

К сожалению, я совершенно не знаком с основными положениями теории компактных подпространств. Так что если просветите-буду премного благодарен.

Извините, это вопрос не ко мне. Я не преподаватель. В двух словах рассказать не могу. В своё время изучал теорию по Колмогорову-Фомину. Можно посмотреть начало второго тома учебника анализа Зорича. Но вообще это много где есть.

[wrest]

reterty в сообщении #1637323 писал(а):

Если бы такой конфигурации не существовало, то заряды все время как-то перемещались, существовал бы ток и постоянно выделялось джоулево тепло. Но это противоречило бы закону сохранения энергии.

Тут как-то всё в кучу... Диссипативные силы, которые приводят к потерям энергии типа омического сопротивления или силы трения, я бы сюда не примешивал. Ну а раз так, то вот электроны по кольцевому сверхпроводнику могут бегать вечно

[amon]

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

Если в двух словах, то у Вас не граничные условия, а условия связи - заряды не могут убежать из проводника (почему - отдельный непростой вопрос). Тогда на поверхности перпендикулярная к этой поверхности компонента поля ни как не влияет на движение зарядов вдоль поверхности, а две оставшиеся не обязаны подчиняться принципу максимума. А вообще, теорема Ирншоу и принцип максимума для уравнения Лапласа это разные вещи.

[reterty]

amon в сообщении #1637382 писал(а):

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

Если в двух словах, то у Вас не граничные условия, а условия связи - заряды не могут убежать из проводника (почему - отдельный непростой вопрос). Тогда на поверхности перпендикулярная к этой поверхности компонента поля ни как не влияет на движение зарядов вдоль поверхности, а две оставшиеся не обязаны подчиняться принципу максимума. А вообще, теорема Ирншоу и принцип максимума для уравнения Лапласа это разные вещи.

Да, корректно говорить здесь об условиях связи. Но смысл утверждения остается прежним, а именно: одним из доказательств теоремы Ирншоу является то, что потенциал системы зарядов в неограниченном пространстве нигде не может достигать глобального МИНИМУМА, поскольку, согласно уравнению Лапласа, сумма вторых координатных производных не равна нулю. А теперь рассмотрим поверхность проводника (ограничение), которая с точки зрения математики является компактным множеством (компактом). Для компакта имеет место теорема Вейерштрасса, утверждающая что всякая непрерывная функция (и потенциал в том числе) ОБЯЗАТЕЛЬНО достигает МИНИМУМА на нем! Следовательно, любая система дискретных зарядов на поверхности проводника, в отличие от "пустого" неограниченного пространства, имеет УСТОЙЧИВУЮ РАВНОВЕСНУЮ КОНФИГУРАЦИЮ. Тут, правда, есть подводный камень: в точке минимума производные по координатам не обязаны автоматически равняться нулю (точка экстремума). Однако, для электрического потенциала как гармонической функции всегда обеспечивается гладкость вблизи границы, что влечет за собою обращение в нуль частных производных для минимума.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

Теорема Ирншоу это по сути пересказанная одна из теорем о гармонической функции (то есть об отсутствии экстремума для такой функции), которая утверждает что гармоническая функция (в нашем случае потенциал) не может достигать экстремума в области где она определена. Это утверждение эквивалентно тому что любая система электрических зарядов не имеет устойчивой конфигурации.

amon в сообщении #1637382 писал(а):

А вообще, теорема Ирншоу и принцип максимума для уравнения Лапласа это разные вещи.

И кому верить? Моё ИМХО следующее. Допустим у нас есть стабильная система нескольких зарядов в пространстве (без ограничений). Мы можем жёстко зафиксировать положение всех зарядов кроме одного. Рассмотрим потенциал поля зафиксированных зарядов. Это гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа. В силу принципа максимума она не может иметь локальный экстремум в точке расположения свободного заряда. Значит небольшое шевеление свободного заряда приведёт к его движению. То есть, хотя вроде градиент потенциала и нулевой (в точке расположения свободного заряда), но второй дифференциал его там не является положительно определённым.

Теперь допустим на расположение заряда наложены ограничения. Допустим он может двигаться сугубо вдоль некой гладкой поверхности. Во-первых, градиент потенциала (фиксированных зарядов) должен быть перпендикулярен поверхности (в точке устойчивого свободного заряда). А во-вторых, принцип максимума тут не применим. И второй дифференциал потенциала, если его рассматривать на касательной поверхности, уже вполне может быть положительно определённым (в той же точке).

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1637403 писал(а):

что потенциал системы зарядов в неограниченном пространстве нигде не может достигать глобального МИНИМУМА, поскольку, согласно уравнению Лапласа, сумма вторых координатных производных не равна нулю.

чего? именно что равна нулю (в свободнои пространстве), согласно уравнению Лапласа.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637403 писал(а):

Однако, для электрического потенциала как гармонической функции всегда обеспечивается гладкость вблизи границы, что влечет за собою обращение в нуль частных производных для минимума.

Не факт. Градиент потенциала может быть и не нулевой. Но он может быть перпендикулярен границе.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1637490 писал(а):

reterty в сообщении #1637403 писал(а):

что потенциал системы зарядов в неограниченном пространстве нигде не может достигать глобального МИНИМУМА, поскольку, согласно уравнению Лапласа, сумма вторых координатных производных не равна нулю.

чего? именно что равна нулю (в свободнои пространстве), согласно уравнению Лапласа.

обычная описка

-- Вс апр 28, 2024 11:25:51 --

мат-ламер в сообщении #1637489 писал(а):

И кому верить?

Верить в данном случае нужно Льву Давидовичу, который почти никогда не ошибался: см. ЛД "Электродинамика сплошных сред" параграф 1, стр. 16 https://alexandr4784.narod.ru/l08/l8_gl01_01.pdf см. также ЛД "Теория поля" параграф 36, стр. 124 https://alexandr4784.narod.ru/l02/l2_gl05_36.pdf

отмечу также еще раз что потенциал поверхности заряженного проводника есть константа лишь в модели НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ. Для системы дискретных зарядов он продолжает подчиняться ПРИНЦИПУ МАКСИМУМА.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637505 писал(а):

отмечу также еще раз что потенциал поверхности заряженного проводника есть константа лишь в модели НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ. Для системы дискретных зарядов он продолжает подчиняться ПРИНЦИПУ МАКСИМУМА.

Вот тут я немножко не догнал, поскольку тут важны подробности. Рассмотрим плоский металлический диск и конечную систему положительных зарядов на нём. У меня тут к вам будет несколько вопросов (своё мнение по которым я пока писать не буду).
1. Возможна ли тут устойчивая конфигурация зарядов, в которой не все заряды будут располагаться на граничной окружности диска?
2. Будет ли тут потенциал электрического поля на диске гармонической функцией, справедливы ли будут для него уравнение Лапласа и принцип максимума?
3. В каком смысле надо понимать понятия из предыдущего вопроса?

reterty в сообщении #1637505 писал(а):

Верить в данном случае нужно Льву Давидовичу, который почти никогда не ошибался:

Спасибо за ссылки!

[LLeonid3]

reterty, попытался смоделировать перемещение зарядов (электронов) в заряженном проводнике, простейший случай -- куб. Результат на картинке:
https://disk.yandex.ru/i/Cm8tfEmiYNczmg
Захотите побаловаться, то вот сама программка:
https://disk.yandex.ru/d/3WshbosIYPcZIA
(Полагаю "интуитивно понятная". Мой компьютер без задержки считает до 2500 шт "электронов")

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1637489 писал(а):

И кому верить?

reterty в сообщении #1637505 писал(а):

Верить в данном случае нужно Льву Давидовичу, который почти никогда не ошибался

reterty в сообщении #1637505 писал(а):

см. также ЛД "Теория поля" параграф 36

Конкретно В ЛЛ2 аргументация сомнительная. Во всяком случае я её не понял. Авторы основываются на том, что если в некоторой точке функция $\varphi$ имеет локальный экстремум, то там её вторые производные отличны от нуля и имеют одинаковый знак. Контрпример - возьмём функцию $\varphi=x^4+y^4+z^4$ . Она в начале координат удовлетворяет уравнению Лапласа и имеет там минимум. Рассуждения должны учитывать не только то, что представляет из себя функция в данной точке, но и то, как она ведёт себя в её окрестности.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1637642 писал(а):

Авторы основываются на том, что если в некоторой точке функция $\varphi$ имеет локальный экстремум, то там её вторые производные отличны от нуля и имеют одинаковый знак.

Это типичное рассуждение, игнорирующее вырожденный случай. Например, так "доказывается" что гармоническая функция не может иметь экстремумов во внутренних точках. Но это дает хинт к возможному строгому доказательству.