Геометрическая задачка

[Dedekind]

Три окружности одинакового радиуса пересекаются в точке $P$. В точках $A, B, C$ - они пересекаются снова. Точки $D, E, F$ - диаметрально противоположны точке $P$ на соответствующих окружностях. Никак не получается доказать, что синие отрезки пройдут через точки пересечения окружностей. Подтолкните в правильном направлении, пожалуйста.

[Null]

Отметите середины отрезков $PB,PA$ и $PC$. Тут возникает гомотетия.

[sergey zhukov]

Dedekind
Можно и два круга рассмотреть (скажем, с центрами $N$ и $L$), третий лишний. Я бы сказал, что если провести отрезок $LN$, то очевидно, что у треугольника $PLN$ высота (из тупого угла) будет равна половине $PB$. А у подобного треугольника $PDF$ она будет вдвое больше.

[Dedekind]

Null
Пусть середина отрезка $PB$ обозначена $G$. Тогда $LG$ и $NG$ оба перпендикулярны $PB$ (как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, $L, G, N$ лежат на одной линии. Ну и дальше по подобию треугольников $PLN$ и $PFD$. Вы это имели в виду?

sergey zhukov в сообщении #1637324 писал(а):

очевидно, что у треугольника $PLN$ высота (из тупого угла) будет равна половине $PB$

Да, вот на этой "очевидности" я и подзастрял:) Но вроде, если сделать так, как предлагал Null (если я правильно понял), то мои рассуждения выше как раз и будут доказательством этого факта. Или можно как-то проще?

[sergey zhukov]

Dedekind
Да это же очевидно из симметрии относительно линии $NL$: два круга, их центры соединены прямой $NL$. Конечно, она делит оттезок $PB$ пополам.

[Dedekind]

Null
sergey zhukov
Спасибо!