Помогите разобраться - вопрос по теорверу

[iliaborisov]

Решил я - скорее для общего развития (но может вдруг как и пригодится) получить общие знания по теории вероятности

стал изучать в принципе простую и ясную книжку - Гнеденко Б.В., А.Я.Хинчин " Элементарное введение в теорию вероятностей"

Все было понятно до страницы 43 . Вот ссылки на сканы 42,43,44 страниц https://disk.yandex.ru/i/1_z-E0fw_JN9rw https://disk.yandex.ru/i/rtElTWqgYmO1Sg https://disk.yandex.ru/i/F_Mz9hC9N75OEA

Разбирается теорема Байеса.

фраза в конце 43 страницы - "Допустим ,что выстрел произведен и цель оказалась пораженной (состоялось событие К). В результате этого вероятности различных положений цели , которые мы имели раньше (то есть число Р(А), Р(b') итд) подвергаются переоценке. Качественная (далее продолжение на 44 странице) сторона этой переоценки ясна без всяких вычислений; Мы стреляли по отрезку а и попали в цель - ясно что вероятность Р(А) при этом должна увеличиться"


Авторам книги может быть и ясно - но мне вот не ясно - как в результате всего одного выстрела (то есть одного события) может измениться вероятность?? Для этого же надо много раз выстрелить - раз сто к примеру и исходя из этого и считать новую вероятность. Вероятность по одному событию же нельзя считать (6 гранный кубик мы подбрасываем много раз а не один раз чтобы посчитать вероятность выпадения каждой из грани)

Сначала я подумал,что быть может автор имеет ввиду,что цель находится строго в одном из участков ,но мы не знаем в каком - и наделили некими априорными вероятностями каждый участок (а не то что цель "бегает" из одного участка в другой и вероятность застать его на одном из участков равна тем вероятностям, которые указаны в книге)
Но в таком случае вероятность Р(А) должна не просто увеличиться, а стать равной единице. Что судя по этой книге тоже не так

В общем я так и не понял,что имели ввиду авторы книги.

Может быть кто нибудь подскажет?

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, в этом и есть польза от Байеса. Теорема позволяет уточнять оценки вероятности (понятно, что вероятность есть величина объективная, от наших наблюдений не зависит, а вот её оценка производится по наблюдениям). У нас есть "априорная вероятность", оценка, произведенная вообще без наблюдений (без наших наблюдений; вообще же кто-то наблюдал и вывел вероятности гипотез), и есть наблюдения в недостаточном для полноценной оценки вероятности количестве. И мы может уточнить нашу оценку вероятности, объединив данные каких-то самих по себе недоступных нам наблюдений, на основе которых оценивалась априорная вероятность, и наши наблюдения, получив улучшенную оценку, "апостериорную вероятность".
"Ковидный" пример. Пусть у больного температура подымается с вероятностью 90%, а с вероятностью 10% наш дистанционный термометр показывает высокую температуру и у здорового (по причине ли дефекта прибора, или оттого, что случаются болезни с температурой и помимо КОВИДа). В потоке посетителей ожидается 1% больных. На одном из них прибор показал высокую температуру. Какова вероятность, что он болен КОВИДом? Без измерения мы полагаем, что вероятность 1% (и ничего не делаем). Опираясь лишь на это измерение, мы можем сказать, что вероятность показать температуру на больном в 9 раз выше, чем на здоровом и решаем, что вероятность болезни 90%, надо хватать и волочь в инфекционную больницу. С Байесом мы делаем вывод, что вероятность болезни $p=\frac {0.01\cdot 0.9}{0.01\cdot 0.9+0.99\cdot 0.1}=8.33\%$, так что надо не паниковать, однако стоит вежливо попросить пройти экспресс-тест.
Возвращаясь к артиллерии. На теореме Байеса основана пристрелка по НЗР (наблюдению знаков разрывов, то есть дальномера нет, а перелёт от недолёта отличаем). После выстрела одним снарядом, позволяющего ввести корректуру по направлению (что не предмет данного рассмотрения) комбат командует очередь из 4 снарядов (чтобы найти корректуру в дальности). Что можно рассматривать, как одно наблюдение, дающее 5 исходов. Все перелёты, три перелёта - недолёт, поровну, три недолёта-перелёт, все недолёты. Известно априорное распределение отклонений СТП (средней точки попаданий) от цели, обусловленных ошибками наводчика или комбата, разбросом качества пороха между партиями снарядов, износом ствола орудия и т.п. Можно найти апостериорное распределение, зная соотношение перелётов и недолётов. Собственно, это уже сделано, дав простое правило - "все перелёты - прицел меньше на 2 Вд, 3:1 перелёты - на 1 ВД, поровну - переходи на поражение и т.п.". Подробности в курсах артиллерийско-стрелковой подготовки или в пособии по изучению ПСУОНА.

[iliaborisov]

Евгений Машеров

Ну вы дали пример как надо использовать теорему Байеса. А мне все же хотелось понять откуда она возникает, ее "механизм". мне не нравится просто считать какое то знание просто знанием, которое надо запомнить, хотя оно выводится (вроде бы).

в общем покумекаю попробую надосуге, посмотрю другие книги. Пока что теорема Байеса как мне кажется входит в ту же группу знаний\фактов, что и квантовая механика, у которой есть свойство с весьма метким названием - КОНТРинтуитивные, т.е. противоречащие здравому смыслу (по кр мере моему). И если не сама т. Байеса, то объяснение в книге, которое я привел выше
Значит как и в квантовой механике -"заткнись и вычисляй" .

Кстати если уж и изменяется вероятность по всего лишь одному выстрелу - то почему авторы решили,что изменяется именно вероятность нахождения цели в определенном отрезке, а не скажем вероятность попадания в цель в случае стрельбы по отрезку, где она точно находится?

В общем одни загадки .

Жаль что авторы не разбили эту свою явно неочевидную мысль на ряд шажков в рассуждении.

(Оффтоп)

Это для меня еще и эксперимент - можно ли самому без преподавателя освоить какие то знания из высшей математики. Пока что есть ощущение - что хотя большинство каких то рассуждений, знаний можно понять, но иногда встерчается какая нибудь странность, которую трудно понять

[mihaild]

Если Вы рассматриваете частотную интерпретацию вероятности, то условная вероятность соответствует рассмотрению только тех экспериментов, в которых условие выполнено.

Т.е. у нас было много экспериментов с разными отрезками (у всех одинаковые конфигурации) и в каждом эксперименте мы стреляли. Вероятность $P_K(a)$ - это доля экспериментов, в которых цель была в $a$, среди экспериментов, в которых мы попали.

[iliaborisov]

mihaild в сообщении #1637069 писал(а):

Если Вы рассматриваете частотную интерпретацию вероятности, то условная вероятность соответствует рассмотрению только тех экспериментов, в которых условие выполнено.

Т.е. у нас было много экспериментов с разными отрезками (у всех одинаковые конфигурации) и в каждом эксперименте мы стреляли. Вероятность $P_K(a)$ - это доля экспериментов, в которых цель была в $a$, среди экспериментов, в которых мы попали.

Но авторы то пишут про увеличение вероятности Р(А), а не $P_K(a)$

[mihaild]

iliaborisov в сообщении #1637070 писал(а):

Но авторы то пишут про увеличение вероятности Р(А), а не $P_K(a)$

Это жаргон, под "увеличением вероятности $A$" понимается $P_K(A) > P(A)$.

[Евгений Машеров]

Ничего контринтуитивного в теореме Байеса не усматриваю. И, кстати, придумал её не математик-профессионал, а священник. Просто не надо принимать жаргонизмы за точные определения (в данном случае "вероятность увеличилась" вместо "оценка вероятности на основе доступных нам данных изменилась в сторону увеличения"; вероятность существует объективно в силу законов природы, просто мы не располагаем полной информацией и вынуждены довольствоваться оценками).
А можно ли изменить оценку на основании лишь одного наблюдения? Ну, идёте Вы по тёмной улице, и вдруг встречный вынимает пистолет. Изменится ли Ваша оценка гипотез "Это мирный обыватель" и "Это бандит, сейчас грабить будет!"?

[Евгений Машеров]

Что до "механизма". То я бы рекомендовал перечитать её доказательство. Оно простое.
У нас есть информация о том, что некое событие может быть порождено разными ситуациями. У нас есть также информация о том, как часто встречаются эти ситуации $P(A_i)$ и о том, как часто i-тая ситуация приводит к событию B - $P(B|A_i)$. Один из способов использовать данную информацию - узнать вероятность события B. Вероятность того, что случится i-тая ситуация и в результате произойдёт интересующее нас событие, равна $P(A_i)P(B|A_i)$. Поскольку ситуации непересекающиеся, и список ситуаций полный и исчерпывающий, мы полученные вероятности суммируем $P(B)=\sum_i P(A_i)P(B|A_i)$ (полная вероятность B).
Но у нас есть дополнительная информация: событие B уже произошло, его вероятность единица. А нужно нам получить информацию о ситуациях $A_i$ (обратная задача). Причём речь не о том, каковы вероятности ситуаций, а о том, какая из ситуаций осуществилась. Поскольку данных у нас недостаточно для однозначного вывода, он также будет носить вероятностный характер. Но это вероятности будут, вообще говоря, отличны от априорных, поскольку мы знаем, что событие B произошло, это аргумент в пользу тех ситуаций, при которых данное событие высоковероятно, и против тех, при которых оно маловероятно. И мы получаем набор новых оценок вероятностей, кратко именуемый "апостериорные вероятности гипотез". Понятно, что новые оценки будут пропорциональны $P(A_i)P(B|A_i)$, отражая как наше знание априорных вероятностей, так и знание факта, что событие B произошло. А так как сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице, мы делим эту величину на полную вероятность B, приводя сумму к единице (вероятность достоверного события равна единице)
$P(A_i|B)=\frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_i P(A_i)P(B|A_i)}$
Вот на уровне "философской интерпретации вероятностей" пойдут проблемы. То ли мы говорим о "степени субъективной вероятности" (а "субъективная вероятность" вообще может не быть вероятностью в математическом смысле), то ли остаёмся в частотном объяснении, но только вводим "параллельные миры", в каждом из которых проводим такой опыт, отбираем те миры, в которых случилось событие B, и уж по ним считаем статистику по $A_i$ (хорошая штука математика - мы это "рождение миров" загнали в пару строчек расчётов, "как это мило и без ущерба красоте!", и без расходов на строительство миллиона артполигонов, на каждом стреляем и определяем, попали ли).

[iliaborisov]

mihaild в сообщении #1637071 писал(а):

iliaborisov в сообщении #1637070 писал(а):

Но авторы то пишут про увеличение вероятности Р(А), а не $P_K(a)$

Это жаргон, под "увеличением вероятности $A$" понимается $P_K(A) > P(A)$.

Это да, как раз понятно. Авторы запутали меня в терминологии )). Спасибо

-- 22.04.2024, 15:04 --

Евгений Машеров

Спасибо за содействие. Буду разбираться

[Alex Krylov]

Вот еще примерчик на тему... Девочка с подружками на даче идет в лес за грибами. Причем, за час она может уйти от дома на максимальное расстояние $R=5$ км. Считаем, что через час после ухода координаты девочки распределены равномерно внутри окружности радиуса $R$: $p(x,y)=\frac{1}{\pi R^2}\boldsymbol{1}_{\geqslant0}\left\lbrace R^2-x^2-y^2\right\rbrace$, где $\boldsymbol{1}_{\geqslant0}\left\lbrace...\right\rbrace$ - индикаторная функция. Спустя час родители девочки через планшет задействуют функцию слежения за ребенком и получают координаты своей дочери $\left\lbrace x_m, y_m\right\rbrace$ с СКО $\sigma=100$ м. Т.е. имеем следующую модель процесса измерения: $p(x_m,y_m\mid x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{(x_m-x)^2+(y_m-y)^2}{2\sigma^2})$. Тогда по теореме Байеса распределение координат девочки после измерения: $p(x,y\mid x_m,y_m)=\frac{p(x_m,y_m\mid x,y)p(x,y)}{\iint\limits_{}^{}p(x_m,y_m\mid x,y)p(x,y)dxdy}=$
$=\frac{\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{(x_m-x)^2+(y_m-y)^2}{2\sigma^2}) \boldsymbol{1}_{\geqslant0}\left\lbrace R^2-x^2-y^2\right\rbrace}{1-Q_1(\frac{\sqrt{x_m^2+y_m^2}}{\sigma},\frac{R}{\sigma})}$, где $Q_1(...)$ - Q-функция Маркума (https://en.wikipedia.org/wiki/Rice_distribution). Тут наглядно видно "взаимодействие" априорного распределения $p(x,y)$ с процессом измерений: если в результате шумов измерения измеренные координаты девочки окажутся за пределами означенной выше окружности, то априорное распределение их попросту "срежет".

[Alex Krylov]

Тут кстати гораздо менее искусственным является не пример с девочкой, а пример с подвижным элементом станка, движение которого происходит вдоль направляющей и естественным образом ограничено двумя крайними положениями. В процессе работы положение этого подвижного элемента измеряется дальномерным способом и ошибка измерений имеет нормальное распределение.

За счет шумов измерения небайесовская оценка положения подвижного элемента станка может выходить за пределы крайних положений.