Использование формулы Перрона

[vicvolf]

Уважаемые форумчане, необходимо получить главный член асимптотики сумматорной функции $\sum_{n \leq x} {2^{\omega(n)}}$ c использованием формулы Перрона.
Формула Перрона для главного члена асимптотики сумматорной функции $\sum_{n \leq x} f(n)$:
$\sum_{n \leq x} f(n) \sim \frac {1}{2\pi i}\int_C F(s) \frac{x^s}{s}ds=\sum_{i=1}^N Res [F(s)\frac{x^s}{s},s_i]$,
где $F(s)=\sum_{i=1}^n \frac {f(n)}{n^s}$ при $s>\sigma_a$ (абцисса абсолютной сходимости), $Res [F(s)\frac{x^s}{s},s_i]$ - вычет функции $F(s)\frac{x^s}{s}$ в точке $s_i$, находящейся в области, ограниченной контуром интегрирования $C$. Контур интегрирования $C$ - представляет из себя прямоугольник: $b+-iT,\beta+-iT$, где $a <\beta <b$ ($a$ - граница нетривиальных нулей дзета функции Римана и $b>\max\{0,\sigma_a\}$).

В нашем случае $F(s)=\sum_{i=1}^n \frac {2^{\omega(n)}}{n^s}=\frac {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}$ при $s>1$.
Запишем формулу Перрона для нашего случая:
$\sum_{n \leq x} f(n) \sim \sum_{i=1}^N Res [\frac {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}\frac{x^s}{s},s_i]$.
В указанном контуре интегрирования только одна точка $s=1$ является полюсом 2-ого порядка функции $\frac {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}\frac{x^s}{s}$, так как квадрат дзета функции Римана находится в числителе.

Известно следующее разложение в ряд Лорана дзета функции Римана:
$\zeta (s)=\frac {1}{s-1}+\gamma+O(|s-1|)$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Поэтому получаем:
$\zeta^2 (s)=(\frac {1}{s-1}+\gamma+O(s-1))^2=\frac{1}{(s-a)^2}+\frac{2\gamma}{s-1}+(\gamma)^2+O(|s-1|)+O((s-1)^2)$
Учитывая это получим главный член асимптотики:
$\sum_{n \leq x} f(n) \sim Res[\frac {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}\frac{x^s}{s},s=1]=\frac{x}{\zeta(2)}$

Однако, правильное значение главного члена:
$\sum_{n \leq x} f(n) \sim \frac{x\ln(x)}{\zeta(2)}$.
Где ошибка?