Дифур в ЧП методом разделения переменных

[artempalkin]

Добрый день! Вот такой дифур нужно решить методом разделения переменных (это указание для решения):

$$u_x^2+u_y^2=1$$

Там еще много подобных. Но как их решать я не вполне понимаю. Если просто представить $u(x,y)=X(x)Y(y)$, как обычно, переменные не разделятся. Я попробовал продифференцировать по $x$, к примеру, обе части. После этого подобное представление позволит разделить переменные, дифуры решатся, но подставление в исходное уравнение, что мы обязаны сделать, не даст ничего хорошего и подходящее решение не найдется... Я думаю, может быть тут какая-то хорошая замена переменных (типа полярной), то есть разделение не исходных переменных, а каких-то других, но пока ничего придумать не смог.

Подскажите, пожалуйста!

[пианист]

Возможно, имелось в виду $u = f(x) + g(y)$? Какое-то решение найдется..

[dgwuqtj]

Странно, если решать это уравнение на плоскости (в классе $C^\infty$, скажем), то у него есть только решения $u(x, y) = ax + by + c$, где $a^2 + b^2 = 1$. Как с помощью разделения переменных понять, что других нет, - без понятия.

Я рассуждал примерно так. Можно считать, повернув систему координат, что $u_x(0, 0) = 1$ и $u_y(0, 0) = 0$. Тогда окажется, что $u_y(x, 0)$ делит свою производную (как функция одной переменной $x$), и из этого уже легко следует $u_y(x, 0) = 0$. Значит, функция является многочленом 1 степени при ограничении на прямую, проходящую через любую точку и направленную вдоль градиента. Ну и легко видеть, что градиенты во всех точках тогда коллинеарны.

[Red_Herring]

artempalkin в сообщении #1636922 писал(а):

Вот такой дифур нужно решить методом разделения переменных (это указание для решения):

Вещественные УЧП 1го порядка, в т.ч. квазилинейные и нелинейные, решают только методом характеристик, причем для нелинейных уравнений никто не ищет общего решения, а только решение задачи Коши. В

[svv]

Я попробовал такой подход. Пусть векторное поле $\mathbf v=\nabla u=\begin{bmatrix}u_x\\u_y\end{bmatrix}$ дифференцируемо. Рассмотрим какую-нибудь его интегральную кривую $\gamma(s)$ (где $s$ — натуральный параметр). В любой её точке $\mathbf v$ будет единичным касательным вектором:
$\frac{dx}{ds}=u_x,\quad \frac{dy}{ds}=u_y$

Найдём производную $\mathbf v$ вдоль $\gamma$:
$\frac{d\mathbf v}{ds}=\frac{\partial \mathbf v}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial \mathbf v}{\partial y}\frac{dy}{ds}=u_x\begin{bmatrix}u_{xx}\\u_{yx}\end{bmatrix}+u_y\begin{bmatrix}u_{xy}\\u_{yy}\end{bmatrix}=\frac 1 2\begin{bmatrix}(u_{x}^2+u_{y}^2)_x\\(u_{x}^2+u_{y}^2)_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
Раз касательный вектор вдоль $\gamma$ постоянен, она — прямая. Через каждую точку плоскости проходит только одна такая прямая (параллельная $\mathbf v$ в этой точке), значит, все эти прямые параллельны, и $\mathbf v=\operatorname{const}$.

[Red_Herring]

svv в сообщении #1636973 писал(а):

все эти прямые параллельны,

Естественно: на всей плоскости решения только линейные функции. Если же мы ищем локальные решения этого классического уравнения, то они выглядят так: есть кривая, на которой решение постоянно. Проводим нормали к этой кривой, тогда пока они не начнут пересекаться решение равно расстоянию от точки до указанной кривой (с "правильным" знаком).

В любом случае, разделение переменных в этой задаче--глупость.

[mihiv]

Red_Herring в сообщении #1636974 писал(а):

Естественно: на всей плоскости решения только линейные функции.

Если исключить начало координат, то есть еще решения $u=\pm \sqrt {x^2+y^2}+c$.