Отрицание высказывания

[CosmicPumpkin]

Здравствуйте, похоже, что основным моим стимулом задавать сюда вопросы являются публикации Кравецкого. Меня смутил его недавний пост, а конкретно вот это:

"По ходу разработки метода[безупречной логики]...вдруг осознал, что...построение отрицаний фраз вида «все медведи белые» как фраз вида «существует как минимум один не белый медведь» имеет натяжку. Которая в большинстве случаев ни на что не влияет, но можно подобрать такие варианты, когда влияние-таки будет. Да и в целом некорретность в том, что претендует на «самое точное из всего точного», как-то некомильфо.
Дело в том, что крайне странным выглядит то, что суждение об общности не декларирует существования чего-либо, а его отрицание — декларирует. Такая асимметрия весьма подозрительна. Либо оба два должны, либо оба два не должны. То есть либо «все медведи белые» — «возможен не белый медведь», либо «все медведи белые и как минимум один из них существует» — «существует как минимум один не белый медведь». Первый вариант, в числе прочего, покрывает случай, когда медведей не существует вообще (причём и обобщением, и отрицанием оного), поэтому, на мой взгляд, он предпочтительнее."

Как правильно ответить для себя на такое? Я сказал бы, что если мы утверждаем что-то про объект, то мы уже подразумеваем существование этого объекта. В том смысле, что объект существует в достаточной степени, если мы вообще можем делать про него высказывания. Если честно меня в целом смущает категория "существует".
И по идее в его высказываниях во второй части там как бы конъюнкция, что они белые и существуют, а квантор существования это не то же самое, что утверждение "А существует". Короче говоря, проясните, пожалуйста, кто разбирается.

[EminentVictorians]

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

Я сказал бы, что если мы утверждаем что-то про объект, то мы уже подразумеваем существование этого объекта.

А если мы не знаем, существует объект или нет? Лично я не вижу проблемы в том, чтобы рассуждать об объекте, про существование которого мы не знаем.

[mihaild]

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

а квантор существования это не то же самое, что утверждение "А существует"

Правильно, квантор существования это вообще не утверждение, он ближе к связкам - знак, позволяющий строить новые формулы из старых.

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

И по идее в его высказываниях во второй части там как бы конъюнкция, что они белые и существуют

Нет, "все медведи белые" записывается формулой так: $\forall x: \text{IsBear}(x) \rightarrow \text{IsWhite}(x)$.

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

Первый вариант, в числе прочего, покрывает случай, когда медведей не существует вообще (причём и обобщением, и отрицанием оного)

Ага, и закон непротиворечия отменяем.

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

Как правильно ответить для себя на такое?

Перестать читать Кравецкого про математику.
(а еще никакой "возможности" в классической логике первого порядке нет)

Сложности с vacuous truth распространены, но ни на чем содержательном не основаны.

CosmicPumpkin в сообщении #1636682 писал(а):

Я сказал бы, что если мы утверждаем что-то про объект, то мы уже подразумеваем существование этого объекта

Так вот утверждения с кванторами всеобщности не берут объект. Они утверждают, что если взять любой объект, то для него утверждение под квантором будет верно.
В математике вообще нет утверждений вида "существуют Х", они всегда имеют вид "существует объект такой что что-то там".

[CosmicPumpkin]

mihalid писал(а):

Правильно, квантор существования это вообще не утверждение, он ближе к связкам - знак, позволяющий строить новые формулы из старых.

А в каком курсе можно подробнее узнать про кванторы и логику высших порядков? Я смотрел бегло методичку предстоящего курса матлогики, там нет такого.

mihalid писал(а):

Так вот утверждения с кванторами всеобщности не берут объект. Они утверждают, что если взять любой объект, то для него утверждение под квантором будет верно.

То есть как шаблон. А сам этот объект это тот самый замкнутый терм?

mihalid писал(а):

Перестать читать Кравецкого про математику.

Да, спасибо, что помогли разобраться. Я в последнее время стараюсь переосмыслить подход к потреблению информации в интернете.

[mihaild]

CosmicPumpkin в сообщении #1636722 писал(а):

А в каком курсе можно подробнее узнать про кванторы и логику высших порядков?

epros советовал "Stewart Shapiro, Foundations without Foundationalism. A Case for Second-order Logic.". Сам я слушал только лекции, книг никаких про это не читал.

CosmicPumpkin в сообщении #1636722 писал(а):

Я смотрел бегло методичку предстоящего курса матлогики, там нет такого

В даже довольно глубоких курсах обходятся первым порядком.

CosmicPumpkin в сообщении #1636722 писал(а):

А сам этот объект это тот самый замкнутый терм?

Сам этот объект обозначается переменной. И совершенно не обязательно задается каким-то замкнутым термом (эта необязательность собственно в каком-то смысле причина неполноты).

[epros]

CosmicPumpkin, если Вас смущает, что из отрицания всеобщности следует существование, почитайте про конструктивную (интуиционистскую) логику. В ней из отрицания всеобщности следует только двойное отрицание существования (не может не существовать не белый медведь), при этом двойное отрицание вообще говоря не снимается (если мы не можем предъявить конкретного не белого медведя).