Аспекты изучения математики

[m.learn1]

Здравствуйте!

Поставил себе цель изучить разделы алгебры и анализа на уровне учебников Зорича и Кострикина.

Но при начале сего дела начал понимать, что дело идёт тяжеловато и я с трудом пробираюсь через текст, и сколь угодно не перечитывай, все равно нет чувства понимания. Скачок между школьным и университетским уровнем чувствуется довольно сильно.

Попробовал спуститься на более низкий уровень и понять основы с помощью книги "Начала теории множеств - Верещагин, Шень" (пока только на 1-й части, но в планах был и переход к части 2 "Языки и исчисления"). Но тут тоже дело не идет... Буквально в первой главе о множествах начиная с упражнения 9 зависаю, просто не понятно, как подходить к упражнениям. Я не представляю, как долго мне придется изучать всю литературу, если идти линейно. Если же что-то пропускаю, то есть ощущение незавершенности и с каждой главой пропущенных упражнений становится все больше (как и не до конца понятого материала).

Как лучше всего составить план для обучения? У меня в этом мало опыта и хотелось бы попросить помощи.

Я пока вижу такой план: насколько это возможно - линейное продвижение по книге, а при решении упражнений если не удается решить задачу за часа 2 - отложить до времени.

Вообще, как закреплять материал? Первый раз просто прочитать какой-либо параграф, а потом попытаться полностью пересказать его у себя на листке со всеми формулировками и теоремами с доказательствами?

Я вижу, что от решения задач есть большая польза, может дополнительно подобрать задачники, совокупность задач которых будет максимально развивать необходимую математическую культуру? (задачники на английском тоже подходят)

И вторая тема которая мне интересна - это то, как собственно организовать математический труд. Часто бывает, что начнешь изучать материал и голова словно не варит, ничего не идёт. Иногда начнешь с энтузиазмом, выдохнешься через час, а когда силы вернутся - не понятно :)). Как с этим справляются работающие математики и какие стратегии тут вообще есть? В голову пока пришел только классический метод помидора (25 минут - максимальная концентрация на изучении, 5 минут отдых; каждые 2 часа более долгий перерыв).

Есть еще какие-либо лайфхаки для того, чтобы быстрее и качественнее изучить материал? Кстати, насколько, по вашему мнению помогает в этом кофе?

Прошу прощения, много вопросов получилось, но буду рад в помощи.
Спасибо!

[Утундрий]

Во всей этой замечательной конструкции не хватает фигуры внешнего независимого оценщика. Самостоятельно вам эту роль не сыграть. Ищите ментора.

[vpb]

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Поставил себе цель изучить разделы алгебры и анализа на уровне учебников Зорича и Кострикина.

Цель хорошая, но Зорич --- книжка с рядом странностей, имхо (да и не только имхо). Имейте в виду.

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Но при начале сего дела начал понимать, что дело идёт тяжеловато и я с трудом пробираюсь через текст, и сколь угодно не перечитывай, все равно нет чувства понимания. Скачок между школьным и университетским уровнем чувствуется довольно сильно.

Если хорошо знаете, понимаете и умеете решать школьную математику, на уровне учебников Мордковича профильных ( 7--9 кл. Мордкович и Николаев, 10--11 Мордкович-Семенов, плюс задачники к ним),
и Атанясяна, этого достаточно. А то, что в учебниках для мехмата разжевывают меньше, чем в школьных --- так чего же вы хотите ?

Если по отношению к какому-то месту не возникает чувства понимания, хоть сколько перечитывай --- так может, оно или написано неудачно само (но, вообще говоря, Кострикин учебник весьма хороший, хоть и не во всех местах), или у вас в голове на данный момент знаний и пониманий недостаточно, и новые не могут с теми, которые есть, связи образовать. Можете пропустить это место, оно дальше может существенной роли и не играть.

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Попробовал спуститься на более низкий уровень и понять основы с помощью книги "Начала теории множеств - Верещагин, Шень" (пока только на 1-й части, но в планах был и переход к части 2 "Языки и исчисления"). Но тут тоже дело не идет... Буквально в первой главе о множествах начиная с упражнения 9 зависаю, просто не понятно, как подходить к упражнениям. Я не представляю, как долго мне придется изучать всю литературу, если идти линейно. Если же что-то пропускаю, то есть ощущение незавершенности и с каждой главой пропущенных упражнений становится все больше (как и не до конца понятого материала).

Крайне неудачная идея. Как раз наоборот: если уж читать Верещагина, то не до Кострикина, а после. Познакомиться же с элементарным теоретико-множественным языком можно по книжке Виленкин, Рассказы о множествах.

-- 17.01.2024, 02:27 --

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Я пока вижу такой план: насколько это возможно - линейное продвижение по книге, а при решении упражнений если не удается решить задачу за часа 2 - отложить до времени.

Да, примерно так.

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Первый раз просто прочитать какой-либо параграф, а потом попытаться полностью пересказать его у себя на листке со всеми формулировками и теоремами с доказательствами?

Можно так. Но, возможно, еще лучше не писать ничего сначала, а попереваривать этот параграф (или даже кусок помельче; бывает, что над одним предложением несколько часов думаешь, да) у себя в голове, без всякой ручки и бумаги.

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Как с этим справляются работающие математики и какие стратегии тут вообще есть?

Стратегия тут такая, прежде всего: не надо себя насиловать. Есть предел работоспособности мозга, у каждого свой. Через него не перепрыгнуть, как бы ни казалось обратное (а оно, бывает, что и кажется).

[gefest_md]

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Но при начале сего дела начал понимать, что дело идёт тяжеловато и я с трудом пробираюсь через текст, и сколь угодно не перечитывай, все равно нет чувства понимания. Скачок между школьным и университетским уровнем чувствуется довольно сильно.

Есть книга D. Velleman, How to prove it: a structured approach, second edition. В третьем издании есть опечатки. Вот цитата из книги:

Цитата:

Students of mathematics and computer science often have trouble the first time they’re asked to work seriously with mathematical proofs, because they don’t know the “rules of the game.”

Ещё полезно знать, что есть формальное высказывание и метавысказывание. Об этом можно почитать в учебнике Клини, Математическая логика, первую часть или хотя бы первую главу.

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):

Разница между двумя учебниками вот в чем. Фихтенгольц излагает матан максимально просто, не вводя понятий, которые для этого, по большому счету, не нужны. Поэтому у него получился легкий и понятный учебник. Зорич стремится вписать матан в широкий контекст, показать, что используемые там конструкции - частные случаи важных математических понятий (топологическое пространство, линейный оператор и т.д.). Поэтому у него получитлся трудный учебник, освоить который с нуля может лишь достаточно сильный читатель. Мое глубокое убеждение - с нуля нужно спокойно
проработать Фихтенгольца, а потом уже Зорича. Да, если лень прочесть две книги вместо одной - за изучение математики лучше вообще не браться.

[vego]

Цитата:

Как лучше всего составить план для обучения? У меня в этом мало опыта и хотелось бы попросить помощи.

Есть у меня кое-какой опыт, если интересно могу написать в личку, чтобы не засорять форум своими измышлениями.

[m.learn1]

Спасибо за ответы. Мне пришел в голову вопрос о том, как научиться "думать" (в плане работающего математика).

Насколько классическое изучение учебников алгебры и анализа способствует этому? Пока для меня это неочевидно.

Сейчас мне кажется, что навык самостоятельного математического размышления важнее, чем просто ознакомление с результатами из учебников - то что уже когда-то было доказано другими и пересказывается на страницах книг.

В целом, можно было бы набирать опыт за счет большого количества проведенного времени с предметом (вода камень точит, рано или поздно, думаю, результаты будут). Но подходя к делу, хочется оптимально использовать свое время и идти по программе, которая будет составлена не кое как.

Конечно, я вижу, что менторство сыграло бы тут огромную роль. Опытный человек, который давал бы задачи и пытался научить думать и отслеживал фидбек - идеально. Но к сожалению, не имею возможности нанимать себе учителей.

Тогда как это развивать это в себе? Тогда бы гораздо легче было бы доказывать теоремы из учебника самому

[Anton_Peplov]

Чтобы научиться думать, нужно решать задачи. Задачи бывают двух типов: на вычисление (найдите предел, возьмите производную и интеграл, вычислите определитель, найдите обратную матрицу и т.д.) и на доказательство (докажите, что...). Оба типа задач одинаково важны. Задачи на доказательство учат думать. Задачи на вычисление нарабатывают технические навыки, которые должны со временем войти в спинной мозг, иначе будете спотыкаться на тривиальных преобразованиях.

Классический сборник задач на вычисление по математическому анализу - Демидович. Есть и еще много разных.
Со сборниками задач на доказательство сложнее. Можно попробовать книги Очана, но его погружение в теорию множеств и функций может быть сложновато для новичка. По алгебре проще: есть сборник Кострикина.

Также важно доказывать самостоятельно то, что в учебнике помечено как "докажите самостоятельно".

Пытаться самостоятельно доказать теоремы, доказанные в учебнике - палка о двух концах. Далеко не все эти теоремы так просты, чтобы их можно было доказать без подсказок. Во всяком случае, в математическом анализе. В общем, если Вам кажется, что Вы знаете, как доказать - вперед и с песней. Но если не знаете - не расстраивайтесь и разбирайте доказательство из учебника.

[Dedekind]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1626478 писал(а):

Далеко не все эти теоремы так просты, чтобы их можно было доказать без подсказок. Во всяком случае, в математическом анализе.

Прошу прощения за оффтоп, просто любопытно. А в каком разделе математики теоремы достаточно просты для доказательства без подсказок? Пишу не с целью оспорить что-то, а для общего развития.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1626479 писал(а):

Прошу прощения за оффтоп, просто любопытно. А в каком разделе математики теоремы достаточно просты для доказательства без подсказок?

Например, азы общей топологии прекрасно излагаются в виде последовательности задач на доказательство (см. учебник Виро и К "Элементарная топология"). Я видел попытки так же излагать матанализ (знаменитые "листочки" вроде Давидовича). Но мне матановские листочки кажутся чрезмерно сложными для среднего студента и тем более для человека, самостоятельно открывшего для себя математику уже во взрослом возрасте. Не все же из нас - юные гении из 57-й школы. Я-то уж точно нет.

[Dedekind]

(Оффтоп)

Anton_Peplov
Спасибо!

[мат-ламер]

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Поставил себе цель изучить разделы алгебры и анализа на уровне учебников Зорича и Кострикина.

vpb в сообщении #1626242 писал(а):

Цель хорошая, но Зорич --- книжка с рядом странностей, имхо (да и не только имхо). Имейте в виду.

m.learn1 в сообщении #1626220 писал(а):

Я не представляю, как долго мне придется изучать всю литературу, если идти линейно.

Что касается Зорича. Насчёт странностей - не мне судить. Но этот учебник не для первого знакомства с матанализом. И даже, если начала анализа вы освоите по какой-то другой книге, то учебник Зорича не для того, чтобы штудировать его линейно от корки до корки. Да и сам автор об этом в предисловии пишет.

Приведу пример. Параграф 1.4.2. Об аксиоматике теории множеств. И далее упражнения в конце этого параграфа, которые связаны с этими аксиомами. Так этот раздел можно при первом чтении (а может даже и вообще) опустить. ИМХО, тема специфическая и мало имеет отношения к дальнейшему изложению.

Пример второй. Параграф 3.2.3. Общее определение - предел по базе. Тема интересная, но в дальнейшем почти не используется (почему-то). То есть при первом чтении можно просмотреть вскользь. И ничего страшного, если сразу не до конца зайдёт. Потом, если будет интерес, можно будет к этому вопросу вернуться.

Это я к тому, что не лучшая идея для начинающих - выбрать самые модные и современные книги и упорно штудировать их линейно от корки до корки. Первый том у Зорича ещё более-менее элементарный. А во втором появятся абстракции, относительно которых у начинающих могут возникнуть вопросы. а для чего они вообще нужны? Например, в упражнениях там появляются алгебры Ли и когомологии де Рама.

Поэтому настоятельно советую топик-стартеру не терять связь с форумом и не стесняться задавать тут вопросы. Самостоятельно освоить программу матфака хотя-бы на уровне начальных курсов не так уж и просто.

[мат-ламер]

m.learn1 в сообщении #1626447 писал(а):

Мне пришел в голову вопрос о том, как научиться "думать" (в плане работающего математика).

Насколько классическое изучение учебников алгебры и анализа способствует этому? Пока для меня это неочевидно.

Однако же глобальные вопросы озадачивают приходящих на форум! А почему, собственно, с этой точки зрения рассматривать алгебру и анализ. Я так понял, что пока анализ и теория множеств не заходят (видимо в силу своей большой абстракции). Может стоит начать с чего-нибудь более простого и конкретного? Например с задач по теории вероятностей? Я вчера открыл известный сборник задач Кельберта и Сухова. Там уже с самого начала идут достаточно интересные задачи. Например, одна из первых.

В теннисном турнире с выбыванием участвуют $n$ игроков. Каждый матч заканчивается с равной вероятностью выигрыша одного из двух игроков. Рассмотрим произвольно выбранную пару игроков. Какова вероятность, что они встретятся в турнире?

И уже после того, как мозги натренированы на решении простых задач, можно приступать к изучению более абстрактных разделов математики.

[Gyros]

Цитата:

Поставил себе цель изучить разделы алгебры и анализа на уровне учебников Зорича и Кострикина.

Неинтересные учебники. Ну вот модные, современные. Но не интересные.

Цитата:

я с трудом пробираюсь через текст, и сколь угодно не перечитывай, все равно нет чувства понимания

Понятия валятся валом и не понимаешь, что их вызвало к жизни. Всякие эпиморфизмы, сюрьекции, кольца главных идеалов. Захламление головы. Сталкивался с таким.
В жизни нужно уметь считать производные, интегралы, находить минимумы/максимумы, делать асимптотические оценки, интерполировать, аппроксимировать, уметь обращаться с матрицами. А все эти абстракции которыми заsirают мозги современные книги по математике не пригодятся.

Лучше почитать
По теории групп:
Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы.
Пер. с англ., М.: Мир, 1971.
Лучшее введение.
Книгу "Теорема Абеля в задачах" Алексеева не советую, скучная, обзеваетесь, применять только при бессонице;

По геометрии:
Кокстер "Введение в геометрию" - приятное чтение и эстетическое удовольствие;

По анализу отличная книга:
Берс "Математический анализ" в 2-х томах, Высшая школа , 1975.
"Курс дифф. и интегр исчисления" Фихтенгольца не советую для первого знакомства. Он большой, подробный, завязните.
Пока дойдете до третьего тома можете уже потерять мотивацию к изучению.
Нужно быстро овладеть небольшим набором основных понятий и навыков, а не изучать все подряд со всеми деталями.
В него можно подсматривать как примеры решать надо.

По алгебре:
Ефимов, Розендорн: Линейная алгебра и многомерная геометрия;
Стренг Г. "Линейная алгебра и ее применения";
Зуланке, Онищик "Алгебра и геометрия" - ну если очень тянет к абстракциям;
Опять же модного Винберга не советую. Его читать надо когда повторяешь уже изученный по др. книгам материал.

Из задачников: Каплан "Практические занятия по высшей математике", много выпусков, написан Человеком и для Людей.
Это если вы в собственном соку варитесь.

Короче, если слышите вот мол все читают какой то учебник (типа модный и современный) и он якобы всем очень "заходит", то сразу можно это пропускать.

Да забыл самое главное сказать: не насилуйте себя. Пусть процесс будет естественным. Не нужно никаких "как организовать математический труд". Стимулом должен быть прежде всего ИНТЕРЕС и ЖЕЛАНИЕ решить какую-нибуть задачу или восстановить логику того кто решал эту задачу до вас.