2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение10.04.2024, 21:50 


28/08/13
534
Даны 3 различных собственных значения $\lambda_1,$ $\lambda_2,$ $\lambda_3$ и 3 соответствующих им собственных вектора $\bold{x}_1,$ $\bold{x}_2,$ $\bold{x}_3,$ причём из координат векторов видно, что они ортогональны друг другу. Как найти матрицу $A$? Первое, что приходит на ум, это расписать прямо $$(A-\lambda_iE)\bold{x}_i=0$$
для $i=1,2,3,$ получив в итоге 9 уравнений с 9 неизвестными. Нет ли способа проще? Может ли чем помочь ортогональность собственных векторов? У меня получаются конструкции типа $(A\bold{x}_1)^TA\bold{x}_2=\bold{x}_1^TA^TA\bold{x}_2=0,$ но оно не особо помогает в этом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Это т.н. матрица простой структуры. Погуглите или сами пошаманьте с диадиками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 00:40 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Конечно, можно проще, и ортогональность тут ни при чём. Как матрица $A$ запишется в базисе из $\mathbb x_i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 02:02 


23/02/23
116
Ascold в сообщении #1636001 писал(а):
Первое, что приходит на ум, это расписать прямо $$(A-\lambda_iE)\bold{x}_i=0$$
для $i=1,2,3,$

на формулу лучше по-другому посмотреть:
$$A[x_1,x_2,x_3] = [x_1,x_2,x_3] \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$$
и заметить, что по вашему условию все собственные вектора ортогональны, то есть матрица, их составляющая $[x_1,x_2,x_3]$ будет тоже ортогональной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 02:38 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
dgwuqtj в сообщении #1636015 писал(а):
Как матрица $A$ запишется в базисе из $\mathbb x_i$?

Из $\mathbf x_i$, конечно же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Утундрий в сообщении #1636014 писал(а):
пошаманьте с диадиками
Воспользовался советом.
Пусть $X$ — матрица, составленная из Ваших собственных векторов, записанных в столбик, а $D=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Тогда $AX=XD$. Более того, если
$BX=XD,\quad\quad(*)$
то $B=A$.
Очевидно, $(*)$ выполняется для
$B=XD(X^TX)^{-1}X^T$

Если собственные векторы ортогональны, да ещё и нормированы на единичную длину, то эта формула ещё упрощается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Ascold в сообщении #1636001 писал(а):
Как найти матрицу $A$? Первое, что приходит на ум,

Первое, что приходит на ум, это, а как вообще мы можем составить матрицу, из того, что у нас есть? Её можно составить, например, так: $A=\sum \lambda_i x_i x_i^T$ . Первое, надо проверить, что $(x_i x_i^T) x_j = 0 $ для $i\ne j$ (пользуясь ассоциативностью). Второе, что надо проверить, это $(x_i x_i^T) x_i = x_i $ . В общем случае это равенство не выполняется. А чтобы оно выполнялось, предварительно надо нормировать собственные вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 20:22 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
svv в сообщении #1636071 писал(а):
Очевидно, $(*)$ выполняется для
$B=XD(X^TX)^{-1}X^T$

Теперь можно сократить $X^T$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам
Сообщение11.04.2024, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Ой, точно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group