Восстановление матрицы по её собств. значениям и векторам

[Ascold]

Даны 3 различных собственных значения $\lambda_1,$ $\lambda_2,$ $\lambda_3$ и 3 соответствующих им собственных вектора $\bold{x}_1,$ $\bold{x}_2,$ $\bold{x}_3,$ причём из координат векторов видно, что они ортогональны друг другу. Как найти матрицу $A$? Первое, что приходит на ум, это расписать прямо

$$(A-\lambda_iE)\bold{x}_i=0$$

для $i=1,2,3,$ получив в итоге 9 уравнений с 9 неизвестными. Нет ли способа проще? Может ли чем помочь ортогональность собственных векторов? У меня получаются конструкции типа $(A\bold{x}_1)^TA\bold{x}_2=\bold{x}_1^TA^TA\bold{x}_2=0,$ но оно не особо помогает в этом деле.

[Утундрий]

Это т.н. матрица простой структуры. Погуглите или сами пошаманьте с диадиками.

[dgwuqtj]

Конечно, можно проще, и ортогональность тут ни при чём. Как матрица $A$ запишется в базисе из $\mathbb x_i$?

[zgemm]

Ascold в сообщении #1636001 писал(а):

Первое, что приходит на ум, это расписать прямо

$$(A-\lambda_iE)\bold{x}_i=0$$

для $i=1,2,3,$

на формулу лучше по-другому посмотреть:

$$A[x_1,x_2,x_3] = [x_1,x_2,x_3] \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$$

и заметить, что по вашему условию все собственные вектора ортогональны, то есть матрица, их составляющая $[x_1,x_2,x_3]$ будет тоже ортогональной.

[dgwuqtj]

dgwuqtj в сообщении #1636015 писал(а):

Как матрица $A$ запишется в базисе из $\mathbb x_i$?

Из $\mathbf x_i$, конечно же.

[svv]

Утундрий в сообщении #1636014 писал(а):

пошаманьте с диадиками

Воспользовался советом.
Пусть $X$ — матрица, составленная из Ваших собственных векторов, записанных в столбик, а $D=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Тогда $AX=XD$. Более того, если
$BX=XD,\quad\quad(*)$
то $B=A$.
Очевидно, $(*)$ выполняется для
$B=XD(X^TX)^{-1}X^T$

Если собственные векторы ортогональны, да ещё и нормированы на единичную длину, то эта формула ещё упрощается.

[мат-ламер]

Ascold в сообщении #1636001 писал(а):

Как найти матрицу $A$? Первое, что приходит на ум,

Первое, что приходит на ум, это, а как вообще мы можем составить матрицу, из того, что у нас есть? Её можно составить, например, так: $A=\sum \lambda_i x_i x_i^T$ . Первое, надо проверить, что $(x_i x_i^T) x_j = 0 $ для $i\ne j$ (пользуясь ассоциативностью). Второе, что надо проверить, это $(x_i x_i^T) x_i = x_i $ . В общем случае это равенство не выполняется. А чтобы оно выполнялось, предварительно надо нормировать собственные вектора.

[dgwuqtj]

svv в сообщении #1636071 писал(а):

Очевидно, $(*)$ выполняется для
$B=XD(X^TX)^{-1}X^T$

Теперь можно сократить $X^T$...

[svv]

Ой, точно.