Условия существования точек экстремума и точек перегиба

[jas]

Известны следующие условия существования точек экстремума:

Теорема (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции). Если дифференцируемая функция $f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то ее производная в этой точке равна нулю: $f'\left(x_0\right)=0$.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция $f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то $x_0$ является критической точкой функции $f(x)$, т.е. ее производная в этой точке либо равна нулю ($f'\left(x_0\right)=0$), либо не имеет конечного значения ($f'\left(x_0\right)=\infty$ или $\nexists f'\left(x_0\right)$).

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция $f\left(x\right)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$, за исключением, быть может, самой точки $x_0$ и непрерывна в точке $x_0$. Тогда

1) если $f'\left(x\right)>0$ при $x<x_0$ и $f'\left(x\right)<0$ при $x>x_0$, то $x_0$ - точка максимума (функция $f\left(x\right)$ имеет максимум в точке $x_0$);

2) если $f'\left(x\right)<0$ при $x<x_0$ и $f'\left(x\right)>0$ при $x>x_0$, то $x_0$ - точка минимума (функция $f\left(x\right)$ имеет минимум в точке $x_0$).

Т.е., если производная $f'\left(x\right)$ при переходе через точку $x_0$ меняет знак с плюса на минус, то функция $f\left(x\right)$ имеет максимум в данной точке. Если же производная $f'\left(x\right)$ при переходе через точку $x_0$ меняет знак с минуса на плюс, то в точке $x_0$ функция $f\left(x\right)$ имеет минимум.


Можно ли провести параллель для точек перегиба?

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба дважды дифференцируемой функции). Если в точке перегиба $x_0$ кривой $y=f\left(x\right)$ вторая производная функции $f\left(x\right)$ существует и непрерывна, то $f''\left(x_0\right)=0$.

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Если $x_0$ точка перегиба функции $y=f(x)$, то $x_0$ является критической точкой функции $f(x)$ по второй производной, т.е. ее вторая производная либо равна нулю ($f''\left(x_0\right)=0$), либо не существует ($f''\left(x_0\right)=\infty$ или $\nexists $ $f''\left(x_0\right)$).

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция $f(x)$ имеет вторую производную $f''(x)$ в окрестности точки $x_0$, кроме, быть может самой точки $x_0$. Если $f''(x)$ меняет знак при переходе $x$ через точку $x_0$, то $x_0$ -- точка перегиба кривой $f(x)$, при условии, что в данной точке существует касательная.

[dgwuqtj]

Тут возникает вопрос, что такое дважды дифференцируемая функция в точке. Если имеется в виду, что она имеет непрерывную производную в окрестности точки и эта первая производная сама дифференцируема в точке, то всё в порядке. А если первая производная не существует или не непрерывна, то я уже не уверен.

[jas]

dgwuqtj в сообщении #1635660 писал(а):

Тут возникает вопрос, что такое дважды дифференцируемая функция в точке. Если имеется в виду, что она имеет непрерывную производную в окрестности точки и эта первая производная сама дифференцируема в точке, то всё в порядке.

Под дважды дифференцируемой функцией в точке имеется в виду функция, которая имеет производную некоторой окрестности этой точке и это производная сама дифференцируема в данной точке.

dgwuqtj в сообщении #1635660 писал(а):

А если первая производная не существует или не непрерывна, то я уже не уверен.

Имеется ввиду в данной точке или в окрестности данной точки?

[dgwuqtj]

В окрестности точки. А точка перегиба - это точка, где есть касательная и по обе стороны функция строго выпуклая в разные стороны в некоторой окрестности?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[jas]

dgwuqtj в сообщении #1635937 писал(а):

В окрестности точки. А точка перегиба - это точка, где есть касательная и по обе стороны функция строго выпуклая в разные стороны в некоторой окрестности?

Да, совершенно верно

[dgwuqtj]

jas в сообщении #1635935 писал(а):

Под дважды дифференцируемой функцией в точке имеется в виду функция, которая имеет производную некоторой окрестности этой точке и это производная сама дифференцируема в данной точке.

Хорошо. Так ведь если функция f дифференцируема на промежутке, то она выпуклая \Leftrightarrow её производная возрастает, причём она строго выпуклая \Leftrightarrow её производная строго возрастает. Это вроде бы легко доказать. И тогда ваши утверждения про точки перегиба следуют из утверждений про экстремумы.

[jas]

Спасибо большое!