Мудрецы и колпаки

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1635866 писал(а):

EUgeneUS, это Вы посчитали вероятность угадывания дла каждого. Но вероятности угадывания не независимы (если у всех шапки одинаковые, то автоматом все проигрывают), поэтому вероятность угадать хотя бы двоим через просто вероятность угадывания каждого не выражается.

Да, Вы правы. Пересчитал, получилось $9/16$, но Вы поправили раньше.

-- 09.04.2024, 20:24 --

manul91 в сообщении #1635867 писал(а):

Это и если вероятность выше $\frac{9}{16}$ будет весьма удивительным (если без читерства)

Выше mihaild предоставил решение, где вероятность $\frac{3}{4}$, что больше $\frac{9}{16}$

[manul91]

мат-ламер в сообщении #1635847 писал(а):

во время испытания обмен информацией запрещён

А разве "видение" цвета колпаков других двух мудрецов во время испытания - это не "обмен информацией во время испытания"?
Что именно подразумевается под "обмен информацией во время испытания"?

EUgeneUS в сообщении #1635868 писал(а):

Выше mihaild предоставил решение, где вероятность $\frac{3}{4}$, что больше $\frac{9}{16}$

Не заметил, спасибо!

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1635866 писал(а):

Получить $\frac{3}{4}$ можно так:

Это правильный ответ В журнале приведена, правда, другая стратегия, но с таким же результатом.

-- Вт апр 09, 2024 20:31:58 --

manul91 в сообщении #1635871 писал(а):

А разве "видение" цвета колпаков других двух мудрецов во время испытания - это не "обмен информацией во время испытания"?
Что именно подразумевается под "обмен информацией во время испытания"?

Суть задачи в том, что мудрецы видят не просто количество чужих белых и чёрных колпаков, а чуть больше. (Завтра продолжу).

[sergey zhukov]

mihaild
Да, интересно.

Т.е. хотя каждый не может угадать цвет своего колпака лучше, чем случайное угадывание, но можно сделать так, чтобы в каждом раунде чаще угадывали по двое сразу и реже - ни один, один или трое. Т.е. распихать неизменное среднее количество угадываний по раундам так, чтобы парных угадываний стало больше, а всех остальных - меньше.

Как я понял, $\frac{3}{4}$ можно добиться, если мудрецы заранее себя пронумеруют и будут знать, кто из них первый, кто второй, кто третий. И их стратегия зависит не только от того, кто что видит, но и от собственного номера.

[eLectric]

Передача информации возможна только каким-то действием.

Заранее известно, что:
- как минимум 2 колпака одинакового цвета.

Договорились:
- Кто видит одинаковые колпаки, тот сразу записывает "свой" цвет. Предположим, тот-же, что и видит.

Выводы:
- Если все трое что-то записали, значит все точно знают свой цвет
- Если записал кто-то один, то другие двое точно знают свой цвет, а тот, кто первый записал угадал на 50%

[sergey zhukov]

eLectric
Нет, это вообще 100% стратегия. Двое всегда угадывают правильно, нужно только заранее решить, в какой последовательности они будут пытаться что-то записать. Скажем, если первый ничего не пишет, значит, смотрим на второго. Если он ничего не пишет - значит одинаковые колпаки видит третий. Причем он тогда даже знает, что у него противоположный цвет, не нужно и гадать.

Тоже, конечно, решение. Но предполагается, что игроки, скажем, жмут на кнопку в кармане. Никто не видит, кто что и когда решает.

[eLectric]

Единственное легитимное действие в задаче, это запись угадывания.
И оно прямо указано в условии - мудрецы должны записывать. Отсюда и легко вывести, что именно этим действием и должна передаваться информация.
Не вижу смысла в предварительной нумерации. А в синхронизации проблема есть. Никто-же не дает команду, хватит смотреть на первого, смотрим на второго.

[manul91]

eLectric в сообщении #1635879 писал(а):

Передача информации возможна только каким-то действием.

Каждый квант света (через которого виден цвет колпаков, как минимум) переносит действие $h$ так что передача информации действием во время испытания тут более чем достаточно.

-- 10.04.2024, 00:30 --

sergey zhukov в сообщении #1635875 писал(а):

И их стратегия зависит не только от того, кто что видит, но и от собственного номера.

И от возможности идентификации "кто есть кто" из видимых мудрецов (кроме цвета их колпаков)

[sergey zhukov]

eLectric
Ну, правильный ответ все же $\frac{3}{4}$, а не $1$, так что ваш вариант не проходит.

Предварительная нумерация полезна, это выше хорошо было показано. Точнее, мы должны знать, кто из нас всегда будет делать одно и то же. Остальные действуют в зависимости от того, угадал он или нет.

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1635875 писал(а):

Как я понял, $\frac{3}{4}$ можно добиться, если мудрецы заранее себя пронумеруют и будут знать, кто из них первый, кто второй, кто третий

Да, симметричная стратегия дает вероятность максимум $\frac{5}{8}$ (например "каждый называет черный только если видит два черных").

eLectric, такие задачи обычно нужно понимать как "найдите три (по числу мудрецов) функции, каждая из которых по упорядоченной паре цветов делает цвет".

[eLectric]

sergey zhukov в сообщении #1635887 писал(а):

eLectric
Ну, правильный ответ все же $\frac{3}{4}$, а не $1$, так что ваш вариант не проходит.

Предварительная нумерация полезна, это выше хорошо было показано. Точнее, мы должны знать, кто из нас всегда будет делать одно и то же. Остальные действуют в зависимости от того, угадал он или нет.

Не, мой ответ вовсе не 1

[ozheredov]

eLectric в сообщении #1635884 писал(а):

И оно прямо указано в условии - мудрецы должны записывать. Отсюда и легко вывести, что именно этим действием и должна передаваться информация.

Ок, тогда так - мудрецы сидят в глубокой ж... яме. Возле каждой ямы стоит десятиметровый шест, верхняя часть которого рандомно покрашена в один из двух цветов. Мудрецы не видят друг друга, но видят верхушки шестов.

[sergey zhukov]

ozheredov
Но они минимум должны хотя бы знать, где кто сидит.

[ozheredov]

sergey zhukov в сообщении #1635891 писал(а):

Но они минимум должны хотя бы знать, где кто сидит.

Ну, к верхушке шеста прибита табличка с номером, она же и окрашена в заданный цвет.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1635872 писал(а):

Суть задачи в том, что мудрецы видят не просто количество чужих белых и чёрных колпаков, а чуть больше. (Завтра продолжу).

Ввиду недостатка времени продолжать пока не буду. Задача разбирается в журнале "Квант", 2019 г., №4. Мудрецы там не упорядочиваются по номерам (или именам). Они располагаются в треугольнике. И у каждого есть один сосед слева и один сосед справа.