Неприводимый идеал

[Ludi]

Читаю листочек. Определение: идеал называют неприводимым, если его нельзя представить в виде пересечения двух отличных от него идеалов. И следом задачка: докажите, что любой простой идеал неприводим. Не могу вообще подобрать неприводимые идеалы, соответствующие определению, не говоря уже о простых: ведь как контрпример мы буквально пересекаем идеалы (в $Z$) $(p, n)$ и $(p, k)$ $(n \ne k)$ и получаем идеал (p)$.

Мне бы хотелось углубить знания по неприводимым идеалам.

[пианист]

Ludi в сообщении #1635655 писал(а):

И следом задачка: докажите, что любой простой идеал неприводим

Посмотрите на произведение элементов из $I_1 \backslash I$ и $I_2 \backslash I$ (имея в виду, что $I=I_1 \cap I_2$).

[mihaild]

Ludi в сообщении #1635655 писал(а):

идеалы (в $Z$) $(p, n)$ и $(p, k)$ $(n \ne k)$ и получаем идеал $(p)$

Не знаком с такой нотацией, это что за идеалы - числа, делящиеся на $p^n$, $p^k$ и $p$ соответственно? Если да, то пересечением будет идеал из чисел, делящихся на $\max(n, k)$.

[dgwuqtj]

Ludi в сообщении #1635655 писал(а):

$(p, n)$ и $(p, k)$ $(n \ne k)$

В $\mathbb Z$ выполнено равенство $(p, n) = (1) = \mathbb Z$, если только $n$ не делится на $p$ (само $p$ считается простым числом). Пример не приводимого идеала, не являющегося простым, - это $(4)$.