период движения по фазовой кривой

[Zo]

Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. Доказать, что период движения по этой кривой равен $T=\frac{dS}{dE}$, Мои соображения: сначала я думал что надо как-нибудь перейти от интеграла по площади к интегралу вдоль кривой (пошаманить с формулой Грина), которой уровень энегрии Е и соответсвтует и затем используя параметризацию по времени записать у этого интеграла пределы от 0 до Т, потом продифференцировать по Е подынтегральное выражение. Но ничего не получается у меня. Прошу помощи, а то начал читать Арнольда, увидел там эту задачку и не дает она мне покоя
Да зыбыл сказать - это задача, естественно, для системы с одной степенью свободы.

[Zo]

Ну хоть какие-нибудь соображения есть?

[Brukvalub]

Zo писал(а):

Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. ..

Я знаю, что такое фазовая кривая , но вот про уровни энергии для дифференциальных уравнений не слыхал. Хорошо бы сначала увидеть контекст, а потом пытаться помочь.

[Zo]

Brukvalub писал(а):

Zo писал(а):

Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. ..

Я знаю, что такое фазовая кривая , но вот про уровни энергии для дифференциальных уравнений не слыхал. Хорошо бы сначала увидеть контекст, а потом пытаться помочь.

В данном случае Е=T+U, где Т - кинетическая энергия, U - потенциальная, E - первый интеграл уравнения $\ddot x=f(x)$, $T=\frac{1}{2}\dot x^2$, $U(x)=-\int\limit_{x_0}^{x} f(\xi)d\xi$. Эта задачка из книги Арнольда "Мат. методы классической механики".
Подскажите, пожалуйста, идею решения

[V.V.]

Итак, у нас есть система
$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=y,\\ \dot{y}=-f(x)=-\frac{\partial U}{\partial x}.\\ \end{array}\right.$

Мы знаем (Фихтенгольца читали), что площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, вычисляется по формуле
$S=\frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{T+t_0} [x(t)y'(t)-y(t)x'(t)] dt$.

Подставим уравнения системы в эту замечательную формулу и заметим, кстати, что $y^2=2(E-U(x))$ (это интеграл системы, а $E$ - это как раз энергия).

Итак,
$S(E)=\frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^{T+t_0} (-x\frac{\partial U}{\partial x}-y^2) dt.$

А теперь подставим $y^2$, продифференцируем этот интеграл с параметром $E$ по этому самому параметру, а потом его возьмем.

Победа!

UPD Исправил. Уже два раза.

[LynxGAV]

Согласно обозначениям $\dot y = f(x) = -\frac{dU}{dx}$. И в интеграле не так.

[Zo]

V.V. Спасибо за решение . Я к своему стыду совсем матан забыл. К тому же и Фихтенгольца не читал - только Зорича местами


V.V. вопрос такой, чтобы мне до конца понять решение: вы взяли частную производную от подынтегрального выражения. А написана полная в условии. Разве остальные подынтегральные слагаемые не надо дифференцировать, они же зависят от параметра E?
Я так решал по формуле Грина: $\int\limits_{D}dxdy=\int\limits_{0}^{T}x\dot y dt=-\int\limits_{0}^{T}x(t)\frac{\partial U}{\partial x}dt$. Где D-область, ограниченная замкнутым контуром. А далее надо взять полную производную по Е от подынтегрального выражения, что у меня и не получилось.

Так секундочку, а почему здесь: $S(E)=\frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^{T+t_0} (-x\frac{\partial U}{\partial x}+y^2) dt.$ под интегралом +y^2, а не -y^2

[Evgenjy]

Чтобы не было путаницы кинетическую энергию обозначим буквой K. Оставим букву T для обозначения периода. Среднюю по времени кинетическую энергию (при t→∞) обозначим K̅. Заметим, что она совпадает со средней за период T. Остальные обозначения: Арнольд. Математические методы классической механики, §4, пункт Г, задача третья с конца.
Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия является однородной функцией k-ой степени. Вириальная теорема (см. Ландау, Лившиц, Механика, §10, формула 10.3) с учетом наших обозначений даёт

$$\bar{K}=\frac{k}{k+2}E$$

Вычислим площадь, заключенную внутри замкнутой фазовой кривой. Имеем следующую цепочку равенств:

$$S=\ \oint{ydx=}\int_{0}^{T}{y\dot{x}dt}=\int_{0}^{T}{\dot{x}\dot{x}dt}=2\int_{0}^{T}{\frac{{\dot{x}}^2}{2}dt=2\int_{0}^{T}Kdt=2\int_{0}^{T}{\overline{K}dt=}}2\overline{K}T=\frac{2k}{2+k}ET$$

Тогда

$$\frac{dS}{dE}=\frac{2k}{2+k}T$$

Формула, указанная в задаче, имеет место в случае гармонического осциллятора, т. е. при k=2.
Возможны иные примеры.
Рассмотрим единичную массу (шарик) между двух стенок на расстоянии единица, движущийся перпендикулярно стенкам. Удар абсолютно упругий. Трения и тяготения нет. В этом случае

$$S=2y;\ \ \ E=\frac{y^2}{2};\ \ \ T=\frac{2}{y}$$

$$dS=2dy;\ \ \ dE=ydy;\ \ \ \frac{dS}{dE}=\frac{2}{y}=T$$

Рассмотрим единичную массу (шарик), падающий с высоты h с ускорением g на плиту и отражающийся вверх после абсолютно упругого удара.

$$S=gTh;\ \ \ E=gh;\ \ \ T=2\cdot\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

$$dS=gTdh;\ \ \ dE=gdh;\ \ \ \frac{dS}{dE}=T$$

[svv]

Evgenjy, Вы, похоже, рекорд установили.

Кстати, общий случай часто доказывается проще, чем частные.

[drzewo]

еще там переменные <<Действие-Угол >> есть