is a scalar and therefore is unaffected by a transpose

[lazarius]

Непонятки в книжке по физике, но вопрос скорее по математике. Страницу по следующей ссылке Google если и покажет то один/два раза. На последующие запросы будет "вы достигли ограничения".

https://books.google.com/books?id=75rCErZkh7EC&pg=PA311

Цитата:

The combination $A \cdot \mathbb{F} \cdot B$ (i.e. $A_\mu \mathbb{F}^{\mu\nu} B_\nu$) is a scalar and therefore is unaffected by a transpose, hence

$\displaystyle A \cdot \mathbb{F} \cdot B = B \cdot \mathbb{F}^T \cdot A$

-
Relativity Made Relatively Easy, by Andrew Steane

Этот конкретный результат в матричном виде (с dot products) я в состоянии получить из определений соответствующих операций. Но, как я понимаю, здесь это представлено как следствие некоего более общего результата (причем в индексной нотации) который нигде в предыдущем тексте не встречается и который я не в состоянии уловить не говоря уже о том чтобы доказать.

Вопрос. Как формулируется то общее утверждение из которого следует вот такое:

$\displaystyle A_\mu \mathbb{F}^{\mu\nu} B_\nu = A_\mu \mathbb{F}^{\nu\mu} B_\nu$

И, пожалуйста, с доказательством. :)

[ozheredov]

lazarius в сообщении #1635426 писал(а):

Как формулируется то общее утверждение из которого следует вот такое

Подозреваю, вот так:

$\xi A \eta$ is a scalar and therefore is unaffected by a transpose
$\xi A \eta = (\xi A \eta)^T={\eta}^T A^T {\xi}^T$

[dgwuqtj]

lazarius в сообщении #1635426 писал(а):

$\displaystyle A_\mu \mathbb{F}^{\mu\nu} B_\nu = A_\mu \mathbb{F}^{\nu\mu} B_\nu$

Не так, у $A$ и $B$ справа должны быть другие индексы. Если вы будете использовать тензорные обозначения, то все утверждения про транспонирование станут очевидными (это комбинация коммутативности умножения и возможности изменить буквы для связанных индексов).

[lazarius]

dgwuqtj в сообщении #1635435 писал(а):

lazarius в сообщении #1635426 писал(а):

$\displaystyle A_\mu \mathbb{F}^{\mu\nu} B_\nu = A_\mu \mathbb{F}^{\nu\mu} B_\nu$

Не так, у $A$ и $B$ справа должны быть другие индексы.

Да, так очевидно. :)

dgwuqtj в сообщении #1635435 писал(а):

Если вы будете использовать тензорные обозначения

В этой книжке сразу две записи используются и приходится переходить от одной к другой, причем переход к индексной записи только в этой главе и начинается.

Вот ошибся при переходе от матричной записи к индексной. :( Понятно что такой результат в индексной записи доказать очень сложно. :)

Спасибо.