2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вид алгебраической функции по ее особым точкам
Сообщение05.04.2024, 16:22 


02/10/20
5
Известно, что функция $w$ имеет разложение
(1) $w(z)=c_{00}+c_{01} z^{\frac{1}{2}}+c_{02} z+c_{03} z^{\frac{3}{2}}+c_{04} z^2+\dots,$ -- в окрестности точки ноль;
(2) $w(z)=c_{10}+c_{11} (z-1)^{\frac{1}{2}}+c_{12} (z-1)+c_{13} (z-1)^{\frac{3}{2}}+c_{14} (z-1)^2+\dots,$ -- в окрестности 1;
(3) $w(z)=c_{1}z^{\frac{3}{2}}+c_{2}z+c_{3} z^{\frac{1}{2}}+c_4+\dfrac{c_{5}}{z^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{c_{6}}{z}+\dots,$ -- в окрестности бесконечности.
В остальных точках комплексной плоскости функция голоморфна.

Можно ли что-то сказать о виде такой функции в общем случае?
________________________________________________________
Рассуждения.
Функция $w$ является алгебраической, поэтому удовлетворяет уравнению $w^n P_n(z)+w^{n-1}P_{n-1}(z)+...+P_0(z)=0$, где $P_k$ -- многочлены переменного $z$.
Функция имеет три точки ветвления $0$, $1$ и $\infty$ первого порядка, поэтому $n=3$ (?).
Тогда функция $w$ может быть выражена в явном виде (?).
Возможные частные случаи:
$w(z)=a_1+a_2 z^{\frac{1}{2}}+a_3 z+a_4 z^{\frac{3}{2}}$ (степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
$w(z)=b_1+b_2 (z-1)^{\frac{1}{2}}+b_3 (z-1)+b_4 (z-1)^{\frac{3}{2}}$ (степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
$w(z)=z^{\frac{1}{2}}(z-1)^{\frac{1}{2}}$;
$w(z)=z(z-1)^{\frac{1}{2}}$.
В общем случае будет линейная комбинация этих частных случаев, т.е. в общем случае $w$ имеет вид:
$w(z)=A+Bz^{\frac{1}{2}}+C(z-1)^{\frac{1}{2}}+Dz+Ez^{\frac{1}{2}}(z-1)^{\frac{1}{2}}+Fz(z-1)^{\frac{1}{2}}+G(z-1)^{\frac{3}{2}}+Hz^{\frac{3}{2}}.$
Есть ли ошибки? Можно ли как-то иначе/проще рассуждать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group