Известно, что функция
имеет разложение
(1)
-- в окрестности точки ноль;
(2)
-- в окрестности 1;
(3)
-- в окрестности бесконечности.
В остальных точках комплексной плоскости функция голоморфна.
Можно ли что-то сказать о виде такой функции в общем случае?
________________________________________________________
Рассуждения.
Функция
является алгебраической, поэтому удовлетворяет уравнению
, где
-- многочлены переменного
.
Функция имеет три точки ветвления
,
и
первого порядка, поэтому
(?).
Тогда функция
может быть выражена в явном виде (?).
Возможные частные случаи:
(степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
(степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
;
.
В общем случае будет линейная комбинация этих частных случаев, т.е. в общем случае
имеет вид:
Есть ли ошибки? Можно ли как-то иначе/проще рассуждать?