2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Просто исследовать на экстремум, но чето сложно
Сообщение02.04.2024, 02:55 


04/06/22
65
Здравствуйте, господа! Столкнулся со следующей задачей:
"При каком минимальном значении параметра $a > 0$ хотя бы 4 локальных максимума функции $e^x \sin(\frac{ax}{5})$ лежат на отрезке [$\frac{-9\pi}{4}$;$\frac{15\pi}{4}$]"
Задачу-то я решил, но использовал прямо-таки сложные рассуждения, хотя задача должна решаться легко. Прошу знатоков матана поделиться своими, надеюсь, простыми и быстрыми решения данной задачи. И кстати, интересное замечание, сначала может показаться, что экстремум достигается в тех точках, где синус от нашего аргумента принимает значения $+$ или $-1$, т.к. экспонента-то у нас положительна и строго монотонна, но вот те на, оказывается, что не-а, даже когда синус начинает идти на спад/подъем, сама функция еще какое-те время продолжает расти/убывать, достигает экстремума(не в точке, где синус по модулю один) и только потом начинает убывать/возрастать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просто исследовать на экстремум, но чето сложно
Сообщение02.04.2024, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Уставное решение: взять производную, приравнять нулю, затем вторую, чтобы понять, где минимумы, где максимумы.
Неуставное: максимум где-то на отрезке, в котором данная функция положительна. Ищем нули функции и максимумы между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просто исследовать на экстремум, но чето сложно
Сообщение04.04.2024, 21:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
А, все-таки, чему равно минимальное значение $a$? У меня получилось, что должно быть $a>6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просто исследовать на экстремум, но чето сложно
Сообщение05.04.2024, 16:20 


04/06/22
65
mihiv в сообщении #1635331 писал(а):
А, все-таки, чему равно минимальное значение $a$? У меня получилось, что должно быть $a>6$.

Правильный ответ - 6.285

 Профиль  
                  
 
 Re: Просто исследовать на экстремум, но чето сложно
Сообщение10.04.2024, 11:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Обозначим:$c=\frac a5$. Стационарные точки $f(x)$ находим из уравнения $\sin cx+c\cos cx=0$, или $\sin (u+\varphi (c))=0,$ где $ u=cx\eqno (1),\varphi (c)=\arcsin \dfrac c{\sqrt {1+c^2}}$.
Значения $u_i$, при которых наблюдаются первые четыре локальных максимума принадлежат интервалам:$(-2\pi,-\pi),(0,\pi),(2\pi,3\pi),(4\pi,5\pi)$.
Для максимума из четвертого интервала получим с учетом (1):$cx_4=5\pi-\arcsin \dfrac c{\sqrt {1+c^2}}$. Отсюда следует условие:$$\frac {15\pi}4\geqslant \frac 1c(5\pi-\arcsin (\dfrac c{\sqrt {1+c^2}})\eqno (2)$$ Минимальное значение $c$ получим, когда выполняется равенство в (2). Отсюда $c_{min}\approx 1.25704,a=5c\approx 6.2852$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group