О сходимости последовательности

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, такой вопрос: сходится ли последовательность $x_n=\sin^nn$ ?

[gris]

Конечно, синус от натуралов имеет точку сгущения у единички, но возведение во всё возрастающую степень может и прижать к нулю, хотя сомнительно. Скорее всего, так и останется всюду плотное множество на (-1,1)
Но это нестрого, конечно

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ. Более-менее элементарные соображения понятны. В частности, существование подпоследовательности, сходящейся к нулю, доказывается при помощи принципа Дирихле относительно просто, об этом много написано. Хотелось бы получить нечто большее по сравнению с тем, что уже есть

[mihaild]

Пусть $n = \frac{\pi}{2} + \pi k + \varepsilon$, где $k$ подобрано для минимизации по модулю $\varepsilon$. Тогда $\ln \sin^n(n) = n \ln \sin(n) = n \ln \left(1 - \varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right) = n \cdot \left(\varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right)$. Чтобы логарифм не уходил на бесконечность, нам соответственно нужно $\varepsilon^2 \leqslant \frac{1}{n}$, т.е. достаточно $\varepsilon \approx \frac{1}{\sqrt n}$.
Т.е. нам нужно $\left|n - \frac{\pi}{2} + \pi k\right| < \frac{1}{\sqrt n}$, т.е. $\left|\frac{1}{\pi} - \frac{1}{2} - \frac{k}{n}\right| < \frac{1}{n \sqrt{n}}$. Что имеет сколь угодно большие решения, потому что $\pi$, а соответственно и $\frac{1}{\pi} - \frac{1}{2}$ иррационально.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ! Значит расходится, верно?
Я не очень понял, почему $\sin(n) = n \ln \left(1 - \varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right).$
Похоже, на формулу Тейлора для косинуса, но тогда должно быть $\varepsilon^2/2.$ Также не очень понятно, куда девался логарифм в выражении $n\cdot\left(\varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right).$ Как мы перешли к такому выражению?

[mihaild]

Evgenii2012 в сообщении #1634269 писал(а):

Я не очень понял, почему $\sin(n) = n \ln \left(1 - \varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right).$

Из разложения синуса в $\frac{\pi}{2}$ (оно же формула Тейлора для косинуса). Действительно, должно быть $\frac{\varepsilon^2}{2}$, но это ни на что не влияет.

Evgenii2012 в сообщении #1634269 писал(а):

Также не очень понятно, куда девался логарифм в выражении $n\cdot\left(\varepsilon^2 + O(\varepsilon^3)\right).$

Из разложения Тейлора для логарифма. Там конечно еще минус должен быть (а над синусом модуль).

В общем написано у меня крайне неаккуратно, но вроде бы если всё поправить, то результат остается.

[Evgenii2012]

Ещё раз, большое спасибо! И ещё напоследок маленький вопрос: я не вполне понял последнюю фразу насчёт бесконечного множества решений. Мы подбираем решения и по $k,$ и по $n$ одновременно, или же $n$ фиксировано, и мы "играемся" с k? А также, не вполне понял, причём здесь иррациональность числа $\frac{1}{\pi}-\frac{1}{2}$? (Похоже на теорему Дирихле о мере иррациональности, хотя прямо она никак не фигурирует)

[mihaild]

Evgenii2012 в сообщении #1634277 писал(а):

Мы подбираем решения и по $k,$ и по $n$ одновременно, или же $n$ фиксировано, и мы "играемся" с k?

По обоим. Существует бесконечно много пар решений (и соответственно существуют решения со сколь угодно большим $n$).

Evgenii2012 в сообщении #1634277 писал(а):

Похоже на теорему Дирихле о мере иррациональности

Она и есть - для иррациональных чисел неравенство $\left| \alpha - \frac{k}{n}\right| < \frac{1}{n^2}$ имеет бесконечно много решений.