2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение20.03.2024, 17:14 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Всем привет! Попробовал порешать задачу 3657 из задачника Демидовича:
$z=A x^2+2 B x y+C y^2$, где $x^2+y^2=1$

После составления функции Лагранжа и продифференцировав её получаю такую СЛАУ:
$$
\left\{\begin{split}
Ax + By + \lambda x = 0 \\
Bx + Cy + \lambda y = 0 \\
x^2 + y^2 = 1 \\
\end{split}\right.$$

Тут можно заметить, что определитель первых двух строчек должен быть равен 0:
$$\begin{vmatrix} A + \lambda & B \\ B & C + \lambda \end{vmatrix} = 0 $$

И вот я когда пытаюсь через определитель выше выразить $\lambda$, то у меня получаются огромные дроби, в которых я начинаю путаться и не могу их сократить. Подскажите может автор задачи намекает на какое-то более короткое решение? Или нужно решать в лоб?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение20.03.2024, 18:06 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Откуда там дроби, если это квадратное уравнение на $\lambda$ с единичным старшим коэффициентом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение20.03.2024, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Verbery в сообщении #1633507 писал(а):
И вот я когда пытаюсь через определитель выше выразить $\lambda$, то у меня получаются огромные дроби

Вам что-то знакомое из линейной алгебры этот определитель не напоминает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение20.03.2024, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Вам ведь $\lambda$ сама по себе не нужна. Исключите её. Умножьте первое уравнение на $y$, второе на $x$ и вычтите. Получится $Axy+By^2=Bx^2+Cxy$. Это уравнение определяет пару $(x,y)$ с точностью до общего коэффициента (если $(x,y)$ решение, то $(kx,ky)$ тоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение20.03.2024, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
svv в сообщении #1633533 писал(а):
Вам ведь $\lambda$ сама по себе не нужна.

Это, если решать конкретную задачу из задачника. А для общего развития иметь в виду её нужно. Она же связана с значением функции в экстремальной точке. Я бы на месте ТС попытался обобщить задачу на n-мерный случай и найти ответ не подробно, а идейно.

-- Ср мар 20, 2024 21:15:06 --

svv в сообщении #1633533 писал(а):
с точностью до общего коэффициента (если $(x,y)$ решение, то $(kx,ky)$ тоже).

Там $k$ всё же придётся искать, исходя из третьего уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение21.03.2024, 17:22 
Аватара пользователя


20/02/12
161
мат-ламер в сообщении #1633522 писал(а):
Вам что-то знакомое из линейной алгебры этот определитель не напоминает?

Характеристическое уравнение? По-моему, знание этого факта мало что даст

Я воспользовался вашими советами. Расчитав определитель мы получаем два корня $\lambda_1$ и $\lambda_2$, не буду выписывать их точный вид. Далее по совету svv домножил уравнения в системе и вычел: $Ax^2 - \lambda x^2 - Cy^2 + \lambda y^2 = 0$ и из него получаем: $\frac{x^2}{y^2} = \frac{C - \lambda}{A - \lambda}$ и тут пользуемся третьим уравнением $x^2 + y^2 = 1$ выражаем из него $x^2$ и подставляем. В итоге у меня получаются вот такие стационарные точки: $y = \pm \sqrt{\frac{A - \lambda}{A + C - 2 \lambda}}$ и $x = \pm \sqrt{1 - \frac{A - \lambda}{A + C - 2 \lambda}}$

Стационарные точки подсчитал явно неправильно, подставляя точки в функцию, ответы получаются громоздкими

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение21.03.2024, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Verbery в сообщении #1633617 писал(а):
домножил уравнения в системе и вычел: $Ax^2 - \lambda x^2 - Cy^2 + \lambda y^2 = 0$ и
Смотрите: Вы первое уравнение домножили на $x$, а второе на $y$. Поэтому у Вас члены с $\lambda$ не сократились. Я предлагал наоборот:
svv в сообщении #1633533 писал(а):
Умножьте первое уравнение на $y$, второе на $x$ и вычтите. Получится $Axy+By^2=Bx^2+Cxy$.
И в этом уравнении $\lambda$ уже нет, соответственно, и искать его не надо :-).

Что делать дальше. Подставьте в полученное уравнение $x=\cos\varphi, y=\sin\varphi$ и увидьте там функции двойного угла. Уравнение $x^2+y^2=1$ при такой подстановке удовлетворяется тождественно, и про него можно забыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение22.03.2024, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
мат-ламер в сообщении #1633535 писал(а):
Я бы на месте ТС попытался обобщить задачу на n-мерный случай и найти ответ не подробно, а идейно.

Как оказалось, эта тема на форуме недавно была: https://dxdy.ru/topic149603.html. Любопытно, разобрался ли там ТС с ней до конца?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение25.03.2024, 17:32 
Аватара пользователя


20/02/12
161
мат-ламер в сообщении #1633733 писал(а):
Как оказалось, эта тема на форуме недавно была: topic149603.html
. Любопытно, разобрался ли там ТС с ней до конца?


Вы правы, поэтому снова возрващаюсь назад с надеждой добить эти две задачи :mrgreen:

svv в сообщении #1633621 писал(а):
и увидьте там функции двойного угла

Я по вашим советам делал, но подумал, что там можно обойтись и без формулы двойного угла, поэтому я просто сделал замену на $\cos{x}$ и $\sin{y}$ чтобы избавиться от формулы ограничения

Но ответ получился неправильный конечно же, слишком громоздкий :facepalm: Не совсем пока понял, что делал не так
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение26.03.2024, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Пока svv на подходе, разрешите вставить свои пять копеек. Я тут писал:
мат-ламер в сообщении #1633535 писал(а):
Я бы на месте ТС попытался обобщить задачу на n-мерный случай и найти ответ не подробно, а идейно.

В параллельной теме вам советовали:
demolishka в сообщении #1554886 писал(а):
Запишите это равенство в векторном виде.

В векторном виде задачу можно записать так: найти экстремум квадратичной функции $f(x)=(Ax,x)$ на единичной сфере $\left\| x \right\|^2=1$ . Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь вид: $L(x,\lambda)=A(x,x)-\lambda (\left\| x \right\|^2-1)$ . (Здесь для наглядности изменил знак $\lambda$ ). Приравнивая градиент этой функции к нулю, получаем уравнение: $Ax-\lambda x = 0$ . Отсюда видно, что критические точки нашей функции, это собственные вектора матрицы $A$ (возможна ситуация, что это инвариантное подпространство этой матрицы). А в этих точках наша функция принимает значение равное собственному значению матрицы $A$ . Отсюда видно, что решением нашей задачи будет собственный вектор (ы) матрицы $A$, соответствующий её экстремальному собственному значению. Смотрите также пар.17 лекций Гельфанда по линейной алгебре "Экстремальные свойства собственных значений".

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение27.03.2024, 04:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
мат-ламер, да я, честно говоря, не уверен, что надо ещё что-то говорить. Человеку дали несколько советов, он решил, отчасти следуя советам, отчасти самостоятельно (это нормально). Получил некоторый ответ. Ответ легко можно проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение27.03.2024, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Может быть ТС попробует свои силы в решении сложнейшей задачи из МГУ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение27.03.2024, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Verbery
Поясните ваши слова "Знак неопределён", "Седловые точки". Что вы этим хотите сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение27.03.2024, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora

(мат-ламер)

мат-ламер в сообщении #1634368 писал(а):
Может быть ТС попробует свои силы в решении сложнейшей задачи из МГУ ?
Посмотрел решение автора ролика. Я бы решал так: подставляем
$a=\sin\theta\,\cos\varphi$
$c=\sin\theta\,\sin\varphi$
$b=\cos\theta$
Получаем
$ab+bc\sqrt 3 = 2\cos\theta\,\sin\theta(\frac 1 2 \cos\varphi+\frac{\sqrt 3}2}\sin\varphi)=\sin 2\theta\,\cos(\varphi-\frac{\pi}3)$
Думаю, такой путь и задумывался составителями. Но всё равно, ТС же надо практиковаться в методе множителей Лагранжа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример на экстремум из задачника Демидовича
Сообщение30.03.2024, 16:22 
Аватара пользователя


20/02/12
161
мат-ламер в сообщении #1634415 писал(а):
Поясните ваши слова "Знак неопределён", "Седловые точки". Что вы этим хотите сказать?

Я имел ввиду, что когда мы находим стационарные точки, то нам нужно понять максимум это или минимум и там у меня не получилось это определить

Спасибо вам за ценные пояснения! Вот я скомпоновал итоговое решение по вашим подсказкам как я это понял

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group