Диофантово уравнение x^4 - y^3 + x - y = 0

[mathematician123]

Найдите все такие пары целых взаимнопростых чисел $x$, $y$, что

$$x^4 - y^3 + x - y = 0$$

Также было бы интересно найти все решения этого уравнения в целых числах. Но это уже гораздо более сложная задача.

[mathpath]

x отрицательный ?

[mathematician123]

mathpath
$x$ целое. Может быть и положительным и отрицательным.

[maxal]

Из равенства $x(x^3+1)=y(y^2+1)$ и взаимной простоты $x,y$ следует, что $xy \mid x^3 + y^2 + 1$.
Кроме того, $z:=\frac{y^2+1}x=\frac{x^3+1}y$ является целым. Имеем $x\mid z + y$ и $y\mid x^2 + z$, а значит и $xy \mid x^2 + y + z$.

Из условия $x^4 + x = y^3 + y$ заключаем, что $|x|,|y|,|z|$ растут как $t^3$, $t^4$ и $t^5$ для некоторого $t>0$, а значит $|xy|$ растет как $t^7$, а $|x^2 + y + z|$ лишь как $t^6$.
Поэтому $xy \mid x^2 + y + z$, влекущее $|xy| \leq |x^2 + y + z|$, означает, что существует лишь конечное число решений.

Остается воспользоваться небольшим перебором, чтобы установить, что единственным решением является $(x,y)=(1,1)$.

[mathematician123]

У меня получилось такое решение.

$$x^4 - y^3 \equiv x^4 - x^3 \equiv 0 \pmod{x - y}$$

Из взаимной простоты $x$ и $y$ следует, что $x$ и $x - y$ взаимнопросты. Откуда $x - y \mid x - 1$. Данная делимость невозможна при достаточно больших $x$, $y$, так как $y \approx x^{4/3}$.

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что $x < 2(\gcd(x, y))^9$. Может быть, это можно как-то использовать для нахождения всех решений в целых числах.

[mathpath]

maxal в сообщении #1633061 писал(а):

Остается воспользоваться небольшим перебором, чтобы установить, что единственным решением является $(x,y)=(1,1)$.

Меня вчера эта задача поставила в тупик: X и Y - это же по условию два РАЗНЫХ числа ...

[maxal]

mathpath в сообщении #1633097 писал(а):

Меня вчера эта задача поставила в тупик: X и Y - это же по условию два РАЗНЫХ числа ...

Слова "разных" нет в условии.

[iifat]

maxal в сообщении #1633153 писал(а):

Слова "разных" нет в условии

«Разных» нет, но «взаимно простые» есть. А когда могут совпасть два взаимно простых числа?

[maxal]

iifat, к чему эти разговоры? Два решения приведены выше. Что непонятного?