Сведение к интегралу Фруллани

[vladb314]

Коллеги, помогите разобраться.
Нужно найти несобственный интеграл

$$\int_0^{+\infty} \frac{1 - e^{-x}}{x} \cos{zx} \, dx.$$

Пример взят из Фихтенгольца, 2 том, параграф 718, 2, б).
На самом деле в примере нужно доказать формулу, которая сводится к нахождению
косинус-преобразования функции

$$ f(x) = \frac{1 - e^{-x}}{x}, $$

для чего и нужно найти указанный интеграл. Но с этим интегралом возникают проблемы.

Пробовал свести к интегралу Фруллани по аналогии с примером

$$ \int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos{ax}}{x} \cos{bx} \, dx $$

(параграф 497, 16, б) ),
но не получилось. Может быть, этот пример решается совсем по-другому?

[mihiv]

Введем параметр $a$:

$$I(a)=\int_0^{+\infty} \frac{1 - e^{-ax}}{x} \cos{zx} \, dx.$$

Теперь интеграл находится дифференцированием по параметру $a$.
В итоге получается: $I(1)=\frac 12\ln \frac {1+z^2}{z^2}$

[vladb314]

Действительно, никакого Фруллани не понадобилось.
mihiv, спасибо огромное!