Циклы в гипотезе Коллатца

[MerkulovaLE]

mihaild, число девять не может быть в цикле в гипотезе Коллатца.

Dmitriy40, если $ x=y$, то $F(x)=F(y)$, где $F$ - функция Коллатца.

Но в функции $ G(x)$, обратной к функции Коллатца, если $x=y$, то не всегда $G(x)=G(y)$, но если $x=y$ и $G(x) \neq G(y)$, то к одинаковому значению $z$ эти обратные функции Коллатца не придут

[mihaild]

MerkulovaLE в сообщении #1628929 писал(а):

число девять не может быть в цикле в гипотезе Коллатца

Причем тут гипотеза Коллатца? Вы заявляли

MerkulovaLE в сообщении #1628014 писал(а):

нечётные числа, их общая формула $\frac {3x+1}{2^k}$

Раз у нас есть общая формула нечетных чисел - из нее должно быть возможно получить $9$. Покажите, как. Или поменяйте формулировку.

И если в посте несколько вопросов, то отвечайте, пожалуйста, на все, а не только на один. В частности, ответьте

mihaild в сообщении #1628016 писал(а):

Что такое "ниоткуда взявшееся число" и что такое "формула Коллатца предусматривает / не предусматривает" число?

[MerkulovaLE]

mihaild, имеется в виду не формула всех нечетных чисел, а нечетных чисел - значений функции Коллатца в цикле.

Все нечетные числа выражаются либо формулой $3(2k+1)$, либо формулой $\frac{3x+1} {2^n}$.

А нечетные значения функции Коллатца в цикле - $ \frac {3x+1}{2^n}$.

И в функции Коллатца если $x=y$, то $F(x)=F(y)$, где $F$-функция следующего нечетного числа в функции Коллатца. Путь от нечетного числа $a$ до нечетного числа $b$ в функции Коллатца только один

[mihaild]

Хорошо, нечетные числа, которые входят в цикл в гипотезе Коллатца, имеют вид $\frac{3x + 1}{2^n}$ (также известен как "числа, не деляющиеся на $3$"). Что мешало сразу так (или аналогично) написать, вместо "общих формул нечетных чисел" без уточнений - непонятно.
Что дальше?

[Sender]

Кстати, в качестве контрпримера к гипотезе Коллатца помимо цикла можно ведь рассмотреть неограниченную последовательность. Невозможность этого доказана или тоже открытая проблема?

[Утундрий]

Подумалось. Допустим, доказано, что не существует монотонно возрастающих последовательностей. Этого достаточно?

[Dmitriy40]

Неа, надо доказать отсутствие обеих альтернатив: и другого цикла кроме 4-2-1, и ухода в бесконечность, любая будет контрпримером. А уж что возрастание далеко не монотонно - это вообще банальность, посмотрите на график https://en.wikipedia.org/wiki/File:Collatz5.svg
Насколько помню ни то ни другое не доказано и не опровергнуто. И в вики молчат (в русской ляпнули про $10^{100}$, но это явный бред).
Про циклы хорошо в вики написано. Да и чуть далее, что неизвестный цикл не может содержать менее 92 цепочек возрастающих нечётных чисел.

[Martynov_M]

MerkulovaLE в сообщении #1628014 писал(а):

Доказательство, что в гипотезе Коллатца не может быть циклов из более, чем трех элементов:

Если рассматривать отрицательные числа, то, например, у нас есть цикл из 18 элементов:

−17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41 → −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 ...

Если бы ваше доказательство было корректно, оно работало как на положительных, так и отрицательных числах.
Не работает.

[MGM]

Dmitriy40 в сообщении #1619805 писал(а):

Если я правильно понял, то Вы доказали что не может быть циклов длиной 1 ($f(y)=y$) и длиной 2 ($f(f(y))=y$). Ну ОК, пусть так (даже проверять не стал), а где доказательство что не может быть циклов длиннее, например длиной $10^{100500}$ итераций? Простите не буду выписывать столько раз взятие функции от аргумента, пальцы жалко. Без такого доказательства гипотеза Коллатца остаётся недоказанной.

Для нечетного подмножества, существуют две фомулы-ипотезы. Если доказать первую - то не требуется доказывать отсутсвие циклов. Формула дерева исключает циклы.
А вот если вы как-то докажете ограниченность Сиракузской последовательности - то тогда надо доказывать фомулу 2. Но формула - могила.

-- Вт мар 05, 2024 01:49:16 --

Утундрий в сообщении #1629570 писал(а):

Подумалось. Допустим, доказано, что не существует монотонно возрастающих последовательностей. Этого достаточно?

Нет. $s_n$ = (a mod b) + cn - не МВ, но уходит в бесконечность.

[MGM]

Martynov_M в сообщении #1629696 писал(а):

MerkulovaLE в сообщении #1628014 писал(а):

Доказательство, что в гипотезе Коллатца не может быть циклов из более, чем трех элементов:

Если рассматривать отрицательные числа, то, например, у нас есть цикл из 18 элементов:

−17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41 → −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 ...

Если бы ваше доказательство было корректно, оно работало как на положительных, так и отрицательных числах.
Не работает.

Последовательности несимметричные.
Хотя обе соходятся. Видимо. Для положительных чисел, обратное дерево более плотное из-за минуса, а для отрицательных менее плотное и образуются пустоты. Заполняемые из корней не равных единичному циклу.
Например: для числа -237 корневым циклом явялется -17 -25... и Ко. То есть это число не принадлежит циклу, но сваливается в него.
А цикл - 5 и -7 вообще является корневым для почти половины отрицательных.

[Martynov_M]

MGM в сообщении #1631863 писал(а):

Для нечетного подмножества, существуют две фомулы-ипотезы. Если доказать первую - то не требуется доказывать отсутсвие циклов. Формула дерева исключает циклы.
А вот если вы как-то докажете ограниченность Сиракузской последовательности - то тогда надо доказывать фомулу 2. Но формула - могила.

Подскажите, пожалуйста, о каких формулах речь?