Хм, значит я где-то ошибаюсь ... Интересно где.
Пусть
![$w$ $w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fae8b8b78ebe01cbfbe2fe5383262482.png)
это минимальное число в цикле. Оно нечётное (чётное уменьшится следующей итерацией) и его можно представить как
![$4n+1$ $4n+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/9/83908d7bc1098c423296b00fabc8821482.png)
или
![$4n+3$ $4n+3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/8/ad89fc158c9c96c0fdb8aba0a21899ec82.png)
.
Первое из них тремя итерациями станет меньше исходного:
![$4n+1 \to 12n+4 \to 6n+2 \to 3n+1 < 4n+1$ $4n+1 \to 12n+4 \to 6n+2 \to 3n+1 < 4n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/a/bfa49e7ed4b036b04763fe6846e33d8c82.png)
, значит единственно возможный вариант лишь
![$4n+3$ $4n+3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/8/ad89fc158c9c96c0fdb8aba0a21899ec82.png)
, впрочем это утверждение для доказательства несущественно.
Рассмотрим как преобразуются числа
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
с условиями
![$0<b<a, a>3, n>3$ $0<b<a, a>3, n>3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/2/6d2505bf51caef453bcae43241ddd90e82.png)
из формулы
![$an+b$ $an+b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e8ff278ae60b2894db957e3dc1edcea82.png)
при каждой итерации:
1. Итерация утроения и добавлением единицы:
![$a \to 3a, b \to 3b+1$ $a \to 3a, b \to 3b+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c7addff7560903029b1ba3c8b3e174482.png)
, при этом сохраняется условие
![$3a>3b+1$ $3a>3b+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/7/9d7232f224b5155852afaefbaa750c2182.png)
. От добавления единицы
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
увеличиться не может:
![$b<a \to 3b<3a \to 3b+1<3a+1<3(a+1)$ $b<a \to 3b<3a \to 3b+1<3a+1<3(a+1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/b/94bddeeeb9a09a8fcbc11092bb4adde782.png)
.
2. Итерация деления пополам в случае чётного
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
:
![$a \to a/2, b \to b/2$ $a \to a/2, b \to b/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/0/320e9909477951cb5a71b6bdb997ca8a82.png)
, условие
![$a/2>b/2$ $a/2>b/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/b/15b7d5fba94532a172ace4d01861865f82.png)
по прежнему сохраняется.
3. Итерация деления пополам в случае нечётного
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
(и соответственно чётного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
):
![$a \to a, b \to b/2$ $a \to a, b \to b/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/0/300cba9a82ee864d956ab68ec24fc3e482.png)
, условие
![$a>b/2$ $a>b/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/2/f526f8d431c19ff3e732184c17b7144482.png)
по прежнему сохраняется.
Итого во всех итерациях исходное условие
![$a>b$ $a>b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd151dbe5c4ba5e2a467178c71d49e8a82.png)
сохраняется. И в любых итерациях
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
преобразуется или в
![$3a$ $3a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/1/ae1e0f1761c2d71af5590e2d3c4be2a682.png)
или в
![$a/2$ $a/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/0/bb010d35c0fcaaae4ba4355d433a008e82.png)
и никак иначе. Произвольная цепочка таких итераций в любом порядке преобразует
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
как
![$a \to a\frac{3^x}{2^y}$ $a \to a\frac{3^x}{2^y}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/2/cb2381fb3d5d5610e581052ac963ce8082.png)
при некоторых ненулевых
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
. Чтобы число
![$4n+3$ $4n+3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/8/ad89fc158c9c96c0fdb8aba0a21899ec82.png)
(или
![$4n+1$ $4n+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/9/83908d7bc1098c423296b00fabc8821482.png)
, но оно по любому не подходит) входило в цикл надо чтобы выполнилось
![$4=4\frac{3^x}{2^y} \to 3^x=2^y$ $4=4\frac{3^x}{2^y} \to 3^x=2^y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/7/9474339b3cdbcc4c317f3c43b9f02c0382.png)
для любых ненулевых
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
. Что невозможно. Выходит число
![$4n+3$ $4n+3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/8/ad89fc158c9c96c0fdb8aba0a21899ec82.png)
не может быть не только наименьшим числом в цикле, но и вообще в него входить на любой позиции. А значит циклов и нет (ну кроме тривиального, для которого не выполнены исходные условия).
Ну и в чём тут ошибка, кто подскажет?