Уравнение 4-ой степени

[Rasulka]

Кто-нибудь может подсказать дискриминант уравнения 4-ой степени?

[Alexiii]

Читай 87 параграф на 343 стр. этой книжки.

[Rasulka]

Этот параграф я прочитал, но там нет четкой формулы.
Если вы знаете ее напишите пожалуйста.

[ИСН]

Вряд ли кто будет писать - она чудовищно длинная.

[mkot]

$x^4+px^2+qx+r = 0$.
$D = 16p^4r - 4p^3q^2 - 128 p^2r^2 + 144pq^2r - 27q^4 + 256r^3$.

[Sonic86]

В общем виде - это произведение чисел вида $(x_i-x_j)^2, 1 \leq i < j \leq n$. Здесь $x_i$ - корни. Потом его надо написать в виде симметрического многочлена. Можно попробовать и вручную при наличии небольших навыков оперирования с такими выражениями.

[Rasulka]

mkot писал(а):

$x^4+px^2+qx+r = 0$.
$D = 16p^4r - 4p^3q^2 - 128 p^2r^2 + 144pq^2r - 27q^4 + 256r^3$.

Эту формулу я нашел. Она как раз подходит к уравнению, которое мне необходимо решить. Но есть проблема: я не знаю как её использовать. Как я понимаю необходимо найти корни резольвенты данного уравнения и в зависимости от их значения можно будет сделать вывод о том, сколько корней содержит это уравнение 4-ой степени. Пожалуйста, опишите способ подробнее, более доступно. Уравнение такое:
$ x^4-5x^2-4x+13=0$

Ответ мне известен: корней нет. Но я доказал это, построив график, а такой способ меня не устраивает, потому что хотелось бы дать этому уравнению более строгое доказательство.

Это уравнение необходимо решить, чтобы решить вот это: $ x^2-5x-4\sqrt x+13=0$

[Cave]

Rasulka
А зачем Вам тогда дискриминант? Для уравнения 4-й степени есть метод решения (ищется поиском "на ура"), им и надо было воспользоваться, коли других путей не ищете.

Но раз график уже построили и знаете, что корней нет, то можно немного облегчить задачу: взять производную многочлена, найти её нули (получится кубическое уравнение с иррациональными корнями, их нужно искать своими методами) и показать, что значение исходного многочлена в этих точках будет больше нуля. Судя по графику, в одной точке это будет игрой "на тоненького", значение весьма близко к 0.

[arqady]

Rasulka писал(а):

Уравнение такое:
$ x^4-5x^2-4x+13=0$

Ответ мне известен: корней нет. Но я доказал это, построив график, а такой способ меня не устраивает, потому что хотелось бы дать этому уравнению более строгое доказательство.

Левая часть уравнения представляется в виде суммы квадратов, которая видна без всякой резольвенты.

[Cave]

arqady
Да, это здорово.
Жаль, даже в голову не пришло это проверить.

[Rasulka]

Cave
Вычислить производную, найти её нули и т.д - об этом я тоже думал. Когда будет время попробую решить этим способом.

arqady
И о том, чтобы выделить квадрат, я также думал. Но пока ничего не получилось. Что ж попробую еще раз.
Вот что получается:${(x^2-2.5)}^2+6.75-4x=0$
Подскажите, как же выделить квадрат?

[Brukvalub]

\[ (x^2 - 3)^2 + (x - 2)^2 \]

[maxal]

Что касается исходного вопроса, то дискриминант многочлена проще вычислять через результант - см. формулы (3) и (4).