Задача на кратность больших чисел

[shmogin]

Друзья, помогите разобраться с задачей. Назовем натуральное число равносоставленным (это свойство, а не отношение), если каждая цифра от 0 до 9 присутствует в его десятичной записи равное число раз (например, числа 1235476089 и 20191209384387456657 (в этом числе все цифры присутствуют в записи дважды) равностоставленны). Термин "равносоставленное" ни на что не претендует, он временный. Теперь сами задачи:
1. Как построить десятизначное равносоставленное число кратное 2024 (без программного перебора, вручную). С помощью программы мне удалось, но как без перебора, так сказать своим умом?
2. Построить алгоритм который для произвольного простого p выдаёт равносоставленное число кратное p.
3. Построить алгоритм который для произвольного натурального n выдаёт равносоставленное число кратное n.
Мои попытки: для задачи 1 составил программу, которая выписала все перестановки из 10 цифр и искала среди них кратные 2024. Например, числа 1570364928, 1537084296 кратны 2024. Но как найти эти числа, так сказать, аналитически я не понимаю. Неужели надо вручную среди десятизначных чисел перебирать те, которые будут кратны 8, 11 и 23 по признакам делимости на 8, на 11 и на 23? По поводу задач 2 и 3 алгоритм такой: для данного p или n выписываем все равносоставленные числа длины большей либо равной p или n, далее поочереди делим их на p или n. Наверное, для больших равносоставленных чисел он практически труднореализуем?

[mihaild]

Подсказка: докажите, что если $n$ взаимно просто с $10$, то существует число из одних единиц, делящееся на $n$.

[wrest]

shmogin в сообщении #1631067 писал(а):

Но как найти эти числа, так сказать, аналитически я не понимаю.

Ну поскольку всего их довольно много (я насчитал 1533 штуки) то как-то наверное найти вручную хотя ды одно можно было бы.
Множители (искомое число делить на 2024), кстати, все делятся на 9 т.к. сумма цифр искомого числа равна 45 (делится на 9) а 2024 на 3 или 9 не делится. Других общих множителей (кроме делителей 2024 ессно) у искомых чисел нет.

shmogin в сообщении #1631067 писал(а):

2. Построить алгоритм который для произвольного простого p выдаёт равносоставленное число кратное p.

Ну видимо умножать на кратные 9 и проверять на равносоставленность, ессно не вот прямо подряд а только внутри диапазонов $1023456789 \le p\cdot 9k \le9876543210$ затем $10012233445566778899\le p\cdot 9k\le 99887766554433221100$ и т.п.

[shmogin]

to wrest Спасибо Вам большое! На кратность 9 я не обратил внимания))) Что называется "Слона, то я и не заметил".

[Null]

shmogin в сообщении #1631067 писал(а):

3. Построить алгоритм который для произвольного натурального n выдаёт равносоставленное число кратное n.

Попробуйте числа $n=2^{10}$ и $n=5^{10}$

[mihaild]

wrest в сообщении #1631075 писал(а):

Ну видимо умножать на кратные 9 и проверять на равносоставленность

Сложно. Для $p > 5$ можно (зная малую теорему Ферма и формулу суммы геометрической прогрессии) ничего не перемножая ответ выписать, только на пальцах считая количество цифр.