Движение частицы в необычном поле

[Poehavchij]

"Частица движется в плоскости xy в поле
$U(x,y) = $$\begin{cases} 0,&\text{если $x<0$;}\\ V,&\text{если $x>0$.} \end{cases}$$$
Перемещаясь за время $\tau$ из точки $(-a,0)$ в точку $(a,a)$
Нужно найти закон движения, предполагая что он имеет вид:
$x_{1,2}(t) = A_{1,2} t + B_{1,2} $
$y_{1,2}(t) = C_{1,2} t + D_{1,2} $
индексы 1,2 для движения при x < 0 , x > 0 соответственно"
Ну, я начал решать исходя из данных нам точек и времени, получив следующее:
$x_{1}(t) = A_{1} t - a $
$y_{1}(t) = C_{1} t $
$x_{2}(t) = A_{2}(t -\tau) + a $
$y_{2}(t) = C_{2}(t-\tau)+a $
Теперь из закона сохранения импульса по оси Y ( По оси X он работать не будет) $C_1 = C_2$
Из закона сохранения энергии $\frac{m}{2} {C_1}^2 + \frac{m}{2} {A_1}^2 = \frac{m}{2}{C_2}^2 + \frac{m}{2} {A_2}^2 + V $
Откуда $ A_2 = \sqrt{{A_1}^2 - \frac{2V}{m}} $
Пусть в момент $ t_0$ у наша траектория пересекает x = 0 (очевидно $t_0 = \frac{a}{A_1}$)
Тогда из непрерывности по траектории по Y: $ C_2 t = C_2 t - C_2 \tau + a $, т.е. $C_1 = C_2 = \frac{a}{\tau}$
Получить из непрерывности A_1 не выходит ибо получается какое то адское уравнение 4 степени, более того, ответ для $A_1 = (\frac{2aV}{m \tau})^{1/3} $, и поэтому у меня есть чувство что непрерывности в $ t_0$ вообще нет. Не может же точка телепортироваться ? ( или может)
Буду рад если кто то ответит на вопрос, и поможет как то найти $ A_1$

[warlock66613]

Нет, не может телепортироваться.

Если решать через принцип наименьшего действия, то решение простое (вроде бы), но вам, как я понимаю, это не подходит.

[Poehavchij]

warlock66613
Еще как подходит. Вы имейте ввиду после этих всех действий с законами сохранениями, найти действие как интеграл, а потом взяв частную производную по $v_x$ найти минимум, или же без законов сохранения сразу так делать для каждого $A_1,A_2,C_1,C_2$ ?

[warlock66613]

Я имею в виду без законов сохранения.

1) Выразите все ваши коэффициенты через время $t_0$ и координату $y_0$ пересечения линии $x=0$.
2) Найдите кинетическую энергию $T$ до и после пересечения как функцию $t_0$ и $y_0$.
3) Найдите действие $\int (T - U) dt$ как функцию $t_0$ и $y_0$. (Интеграл распадается на сумму двух частей — от $0$ до $t_0$ и от $t_0$ до $\tau$.)
4) Найдите минимум действия как функции двух переменных.

[Geen]

Poehavchij в сообщении #1630796 писал(а):

так делать для каждого $A_1,A_2,C_1,C_2$ ?

У Вас траектория характеризуется единственным числом - ординатой пересечения...

[warlock66613]

Geen в сообщении #1630799 писал(а):

У Вас траектория характеризуется единственным числом - ординатой пересечения...

Ещё временем пересечения.

[Poehavchij]

warlock66613
Аааааа даже так, спасибо, сейчас попробую

-- 24.02.2024, 23:02 --

warlock66613
И еще такой вопрос, может вы знайте какую то программу которая бы посчитать что $x_2$ при подстановке $t_0$ и данного выражения для $v_x $обращалась бы в ноль ? ибо у меня до сих пор сомнения по этому поводу

[warlock66613]

Poehavchij, WolframAlpha? Ну или Mathematica. Если это не то, значит я не понял вопрос.

[Poehavchij]

warlock66613
Вообщем, у меня не вышло так как вы говорите. Я легко нашел $y_0$, но вот для $t_0$ опять какое то нереальное уравнение 4-й степени

[mihiv]

Poehavchij в сообщении #1630756 писал(а):

более того, ответ для $A_1 = (\frac{2aV}{m \tau})^{1/3} $

Этот ответ не может быть правильным, потому что при $V=0$ получим $A_1=0$, а не $A_1=A_2=\frac {2a}{\tau }$

[Poehavchij]

mihiv
Интересное замечание.
(если что, это задача 4.2 из Коткина Сербо)

-- 25.02.2024, 19:20 --

mihiv
Я все таки осмелюсь предположить, что случай $V = 0$ просто вырожденный, и требует отдельного внимания.
Было бы неплохо если бы кто то еще попытался решить найти $t_0$ методом который предложил Варлок, и сказать вышло ли что нибуть адекватное или тоже страшное уравнение

[warlock66613]

Poehavchij, я завтра гляну сам что там получается.

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1630866 писал(а):

если что, это задача 4.2 из Коткина Сербо

Судя по источнику, решение задачи предполагает использование методов аналитической механики. То есть через принцип наименьшего действия.

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1630756 писал(а):

Ну, я начал решать исходя из данных нам точек и времени, получив следующее:
$x_{1}(t) = A_{1} t - a $
$y_{1}(t) = C_{1} t $
$x_{2}(t) = A_{2}(t -\tau) + a $
$y_{2}(t) = C_{2}(t-\tau)+a $

Тут Вы каких-то сложностей нагородили.
Вы верно заметили, что скорость вдоль оси ординат не меняется. Откуда сразу:
$y_{1,2} = \frac{a}{\tau} t$

Далее, если параметризовать возможные траектории временем пересечения оси ординат, то действительно получается какое-то уравнение 4-й степени. Но можно попробовать параметризовать траектории точкой пересечения с осью ординат.

[warlock66613]

EUgeneUS, не зная времени пересечения, не записать закон движения.