Мера множества особых точек функции

[seraphimt]

Здравствуйте. Бьюсь над задачкой и её обобщением и что-то никаких идей не вижу, подскажите, пожалуйста.
Нужно доказать, что мера особых значений $f(x)\in C^1[0,1]$ равна нулю.
Я пробовал рассуждать так: в этом случае у нас особыми будут те, где производная обращается в ноль. Поскольку производная непрерывная, около таких точек можно найти окрестность, где $|f'(x)|<\epsilon$. Пусть эта окрестность будет $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$
Теперь, поскольку $f(x)$ непрерывная, то можно найти такую окрестность $(x_0-\delta_2, x_0+\delta_2)$, где $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Беря из двух дельт минимальное, мы нашли окрестность области значений, которую можно закрыть произвольно малым эпсилон. Но дальше тупик. Если бы доказать, что такие окрестности не пересекаются, то, как понимаю, можно было выбрать там по рациональному числу, что их однозначно идентифицирует и значит их счётное количество и всё доказано. Но не знаю как, да и может это вообще чушь =_=
Обобщение, где $m$-мерный куб на $\mathbb{R}^m$ вообще без идей.

[Евгений Машеров]

seraphimt в сообщении #1630631 писал(а):

Я пробовал рассуждать так: в этом случае у нас особыми будут те, где производная обращается в ноль.

???

[seraphimt]

Евгений Машеров
Ну по определению, данном в задаче, особые точки = критические точки = точки, где ранг матрицы Якоби отображения не максимален. Поскольку $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, то матрица Якоби просто производная в точке.

[Mikhail_K]

seraphimt
А как быть с функцией, тождественно равной нулю или другой константе? Или с гладкими функциями, постоянными на каком-то подотрезке отрезка $[0,1]$? Какая у них "мера множества особых точек"?
Что-то не то с условием задачи.

-- 23.02.2024, 12:20 --

seraphimt
Увидел: речь не о множестве особых точек, а о множестве особых значений (т.е. тех значений, которые принимает функция в особых точках).

[Combat Zone]

Это частный случай леммы Сарда.
Он несложно доказывается, надо разбить отрезок на отрезки длины $1/N$ и оценить производные на всех участках с особенностями. Следом оценить сумму мер образов всез таких участков.
Если не получится - почитайте, например, в Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде "Особенности дифференцируемых отображений", с. 26. Хотя доставать этот труд по такому поводу - из пушек по воробьям. Там все доказательство несколько строк.
Общий случай там тоже есть.

[seraphimt]

Combat Zone в сообщении #1630647 писал(а):

Это частный случай леммы Сарда.

Да, у нас задача - решением 7 подзадач доказать теорему Сарда.

Combat Zone в сообщении #1630647 писал(а):

надо разбить отрезок на отрезки длины $1/N$ и оценить производные на всех участках с особенностями

В книжку заглянул, но там жуткая жуть, вообще ничего не понял =_=
Но вроде получилось придумать после подсказки про разбиение.
$f'(x)$ - непрерывна на $[0, 1]$, значит равномерно непрерывна. Пусть задано некое произвольное эпсилон. Берём $N_1$ таким, чтобы $|f'(x)-f'(y)| < \epsilon$ при $|x-y|<\frac{1}{N_1}$.
Теперь дробим отрезок на $N=N_1+1$ равных частей. Т.к $f(x)$ -дифференцируема на всём отрезке, то можем использовать формулу конечных разностей: $f(\frac{k+1}{N})-f(\frac{k}{N})=\frac{f'(c)}{N}$.
Для тех отрезков, куда попали критические точки выходит $|f(\frac{k+1}{N})-f(\frac{k}{N})|<\frac{\epsilon}{N}$. Суммарно таких отрезков не больше, чем $N$, значит их длинна не больше эпсилон.