Мощность непустого замкнутого множества на вещественной оси

[gosetrov]

Условие: Покажите, что любое непустое замкнутое множество $A \subset \mathbb{R}$ без изолированных точек имеет мощность континуума.

Решение:
1. $A$ не имеет изолированных точек $\Rightarrow \forall a \in A, \forall \xi_a > 0, \xi_a \cap A \setminus \left\lbrace a \right\rbrace\ne \varnothing$.

Будем рассматривать бесконечные последовательности нулей и единиц и возьмем какую-то конкретную $p_1$. Построим множество $M_1$ следующим образом: возьмем $a_0 \in A, \xi_{a_0} > 0$ в эпсилон окрестности найдется другая точка(по 1.) $a_1 \in A$. Тогда если первый бит в последовательности $p_1$ равен $0$ нулю добавим $a_1$ к $M_1$, иначе $a_0$. Теперь $\xi_1 = \min(d(a_0, a_1) /4, d(a_1, a_0 - \xi_{a_0}), d(a_1, a_0 + \xi_{a_0}))$ и перейдем к $a_i$ выбранной в предыдущем шаге. Здесь мы можем вообще забыть о другой точке и повторить построение с $\xi_1$. Тогда у нас получится $M_1 = \left\lbrace a_{i_1}, a_{i_2}, a_{i_3}...\right\rbrace$, $M_1$ очевидно ограничена по построению, а значит имеем предельную точку $m_1$, но $A$ замкнуто, а значит содержит все свои предельные точки и $m_1 \in A$. Тогда $p_1$ мы сопоставим $m_1$. Покажем что если $p_1 \ne p_2 \Rightarrow m_1 \ne m_2$ - в первом бите который будет отличатся у последовательностей мы выберем разные точки $a$ и таким образом ограничим все последующие точки эпсилон окрестностью выбранной на этом шаге и следовательно $m_1$ не может совпадать с $m_2$.
Тогда $\exists S \subset A, S \sim \mathbb{R} \wedge A \subset \mathbb{R} \Rightarrow A \sim \mathbb{R}$.

Подскажите, пожалуйста, корректно ли это доказательство и можно ли его упростить/улучшить?

[lozhkarev]

Мы решаем Шеня, сейчас как раз на этой задаче. Выглядит верно, у нас получилось очень похожее доказательство, но чуть менее строго доказывали.
Основная идея была R ~ [0,1], A далее вложено в [0,1] - очевидно и остается показать что мощность А >= мощности [0,1]