Аксиома бесконечности

[QuantumCoder]

Читаю книгу Terence Tao, Analysis I
Он в третьей главе строит аксиоматически теорию множеств.

Пока не дает нам никаких множеств


Теперь у нас есть одно единственное множество - пустое.


Теперь у нас есть множества вида $\{x\}$ и $\{x, y\}$


Позволяет строить множества с произвольным конечным количеством элементов


Позволяет строить множества на основе имеющегося


Тоже позволяет строить множества на основе имеющегося, но более мощным способом (по сути 5 аксиома выводится из 6 аксиомы)


Вот тут не ясно, почему мы не можем использовать 3 и 4 аксиомы, чтобы построить $N$. У нас есть $\{0\}$, $\{1\}$ и так далее для любого $n$ Имеется ввиду, что без этой аксиомы мы можем получить сколько угодно большое множество, но оно все равно будет конечно? Так что ли? Не очень чувствую вот этот момент. Ощущение какое-то, что я просто могу заюзать 3 и 4 аксиомы бесконечное количество раз и получить $N$, разве нет?

[mihaild]

Нельзя использовать аксиому бесконечное число раз.
Представьте, что у вас только множества, которые можно построить из пустого с помощью конечного числа операций (называется наследственно конечные множества). Эта система удовлетворяет всем аксиомам ZF, кроме аксиомы бесконечности.

[QuantumCoder]

А почему аксиому нельзя применить бесконечное числ раз? Это такая договоренность? Это чему-то противоречит?

[dgwuqtj]

QuantumCoder в сообщении #1630145 писал(а):

А почему аксиому нельзя применить бесконечное числ раз? Это такая договоренность? Это чему-то противоречит?

Если формально, то по определению, все математические доказательства - это конечные тексты из аксиом и правил вывода. Если по-человечески, то математики просто не понимают, что такое "применить аксиому бесконечно много раз", вот и договорились не пользоваться. Бесконечные объекты и так не очень интуитивны.

[tolstopuz]

QuantumCoder в сообщении #1630094 писал(а):

Ощущение какое-то, что я просто могу заюзать 3 и 4 аксиомы бесконечное количество раз и получить $N$, разве нет?

Как будет выглядеть последний шаг этого рассуждения?

[QuantumCoder]

tolstopuz в сообщении #1630149 писал(а):

QuantumCoder в сообщении #1630094 писал(а):

Ощущение какое-то, что я просто могу заюзать 3 и 4 аксиомы бесконечное количество раз и получить $N$, разве нет?

Как будет выглядеть последний шаг этого рассуждения?

Идея была в том, что мы можем применить аксиому 3 и 4 бесконечное число раз и получить $\{0\} \cup \{1\} \cup ...$. Но походу так нельзя.

[warlock66613]

QuantumCoder в сообщении #1630155 писал(а):

Идея была в том, что мы можем применить аксиому 3 и 4 бесконечное число раз и получить $\{0\} \cup \{1\} \cup ...$

Для этого должно быть построено рассуждение, которое кончается чем-то вроде "следовательно существует множество $\{0\} \cup \{1\} \cup ...$". Даже бесконечное применение аксиом всё равно не позволит его построить. Но можете попытаться, чтобы понять что не получается: ни у одной аксиомы следствие не подогнать к требуемой форме, следовательно нельзя построить последний шаг рассуждения, следовательно доказательства не существует даже если разрешить применять аксиомы бесконечное число раз.

[dgwuqtj]

QuantumCoder в сообщении #1630155 писал(а):

Идея была в том, что мы можем применить аксиому 3 и 4 бесконечное число раз и получить $\{0\} \cup \{1\} \cup ...$. Но походу так нельзя.

Тут у вас ещё и формула бесконечная, этому тоже надо придавать какой-то смысл. В теории множеств, конечно, бесконечные объединения вполне определены и даже существуют (благодаря аксиоме бесконечности), но с другими математическими операциями это обычно не так.

[QuantumCoder]

На самом деле судя вот по этому тексту после аксиомы бесконечности:

складывается ощущение, что у нас пока что вообще не было множеств $\{0\}, \{1\}, \dots, \{n\}, \dots $ и лишь вот эта аксиома постулирует существование множества $N$, состоящего из объектов удовлетворяющих аксиомам Пеано.

[mihaild]

Может быть неудачно написано. Существование таких множеств можно доказать и без аксиомы бесконечности. Для доказательства существования любого наследственно конечного множества достаточно одних аксиом.
Кстати и формулировка 3.7 избыточна. Достаточно сказать, что существует множество, содержащее $0$ и вместе с $n$ содержащее $n++$, и из этого уже будет следовать существование модели арифметики.

[QuantumCoder]

mihaild, ну не совсем, как мне кажется. Там ведь еще нужно, чтобы они удовлетворяли аксиоматике Пеано. Иначе у Вас может получится множество в котором только 0 и 1, если 1++ = 0, например. Так что это требование вроде как обязательно.

-- 19.02.2024, 12:27 --

mihaild в сообщении #1630211 писал(а):

Существование таких множеств можно доказать и без аксиомы бесконечности.

Я думаю Вы сейчас говорите о чистой теории множеств. В данном случае строится не-чистая теория. В данной книге числа не являются множествами.

[mihaild]

QuantumCoder в сообщении #1630220 писал(а):

Иначе у Вас может получится множество в котором только 0 и 1, если 1++ = 0, например

А, да, там $++$ определяется отдельно. Обычно в теории множеств говорят что $0 = \varnothing$ и $S(n) = n \cup \{n\}$, отсюда из аксиомы регулярности легко получается, что $n \neq S(n)$ (и даже без неё получается что для минимального индуктивного множества это верно). Я, откровенно говоря, не очень понимаю, какие преимущества даёт подход Тао с объявлением натуральных чисел отдельными "объектами", но если его брать, то да, аксиома бесконечности нужна в его формулировке.

[QuantumCoder]

mihaild в сообщении #1630231 писал(а):

Я, откровенно говоря, не очень понимаю, какие преимущества даёт подход Тао с объявлением натуральных чисел отдельными "объектами"

На этот счет у Тао есть даже пояснение: