Гипотетическое расширение арифметических операции

[Soul Friend]

Расширение арифметических операции

(Оффтоп)

Предлагаю гипотетическое расширение, на серьезность публикации не претендую

ссылка на .pdf файл в гугл диске

статья в блоге на wordpress.com

Для начала введем множество символов для обозначения арифметических операции:

$\textcircled{0}$, $\textcircled{1}$, $\textcircled{2}$, $\textcircled{3}$, $\textcircled{4}$, ..., $\textcircled{n}$ ; $n \in N$ \, операции увеличения чисел, если числа больше единицы.

$ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.2,0.2) -- (0.4,0) -- (0.2,-0.2) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.2,0) {0}; \end{tikzpicture}$, $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {1}; \end{tikzpicture} $, $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {2}; \end{tikzpicture} $, $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {3}; \end{tikzpicture} $, $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {4}; \end{tikzpicture} $, ...., $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {n}; \end{tikzpicture} $ операции уменьшения чисел, если числа больше единицы.

где $\textcircled{2}$ - означает операцию сложения, $\textcircled{3}$ - означает операцию умножения,
$\textcircled{4}$ - означает операцию возведения в степень.

$ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {2}; \end{tikzpicture} $ - означает операцию вычитания, $ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {3}; \end{tikzpicture} $ - означает операцию деления,
$ \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {4}; \end{tikzpicture} $ - означает операцию извлечение корня.

Примеры для $x \in N$:

$x \textcircled{2} x=x+x$

$x \textcircled{3} x=x \cdot x$

$x \textcircled{4} x=x^x$

$\raisebox{3pt}x \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {2}; \end{tikzpicture} \raisebox{3pt}{x=x--x} $

$\raisebox{3pt}{x} \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {3}; \end{tikzpicture} \raisebox{3pt}{x=x/x} $

$\raisebox{3pt}x \begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {4}; \end{tikzpicture} \raisebox{3pt}{\, x =} \sqrt[x]{x}$



Введенные символы, записанные в верхнем индексе $x^{\raisebox{2pt}{\textcircled{n}}} y$ --- означают $y$ количество итерации данной операции. Пример:

$5 \, \textcircled{2} \, 5 \, \textcircled{2} \, 5 = 5^{\raisebox{2pt}{\textcircled{2}}} 3 = (5 + 5) + 5 = 15$

$5 \, \textcircled{3} \, 5 \, \textcircled{3} \, 5 = 5^{\raisebox{2pt}{\textcircled{3}}} 3 = (5 \cdot 5) \cdot 5 = 125$

$5 \, \textcircled{4} \, 5 \, \textcircled{4} \, 5 = 5^{\raisebox{2pt}{\textcircled{4}}} 3 = (5^5)^5 = 298023223876953125$

$\raisebox{3pt}{298023223876953125} \, \raisebox{8pt}{\begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0.15,0.15) -- (0.3,0) -- (0.15,-0.15) -- cycle; \node[font=\scriptsize] at (0.15,0) {4}; \end{tikzpicture}} \raisebox{3pt}{\, 3 =} \sqrt[5]{\sqrt[5]{298023223876953125}} \raisebox{3pt} \, \raisebox{3pt}{ =\,5}$



Определяющие формулы
Для любых $x, n \in N$ и операции $\textcircled{n}$, $\LARGE \textcircled{\footnotesize n-1}$ должны выполнятся равенства:

$\begin{equation} x \textcircled{n} x = (x \LARGE{ \textcircled{\footnotesize n-1}} \, x) \, \textcircled{n} \frac{x}{2} \end{equation} \begin{equation} x \textcircled{n} x = (x \LARGE {\textcircled{\footnotesize n-1} x}) \, \LARGE \textcircled{\footnotesize n-1} \, ( x \textcircled{n} (x-2) ) \end{equation}$



Примеры, следствия и предположения:

Пример для формулы (1) :

$5 \cdot 5 = (5+5) \cdot (\frac{5}{2}) = 25$

$5 \textcircled{3} 5 = (5 \textcircled{2} 5) \textcircled{3} (\frac{5}{2}) = 25$

$5^5 = (5 \cdot 5)^{\footnotesize (\frac{5}{2})} = 3125$

$5 \textcircled{4} 5 = (5 \textcircled{3} 5) \textcircled{4} {\footnotesize (\frac{5}{2})} = 3125$

Тогда, для предположительной операции $\textcircled{1}$ и $\textcircled{5}$ :

$5 \textcircled{2} 5 = (5 \textcircled{1} 5) \textcircled{2} (\frac{5}{2}) = 10$

$5 \textcircled{1} 5 = (5 \textcircled{0} 5) \textcircled{1} (\frac{5}{2}) = 7,5$

$5 \textcircled{5} 5 = (5 \textcircled{4}5) \textcircled{5}(\frac{5}{2}) = {{{5^5}^5}^5}^5 \approx 7.182120874830735{E}436$

$3 \textcircled{6} 3 = \left( \left(3^3 \right)^3 \right)^{\left( \left(3^3 \right)^3 \right)^{\left( \left(3^3 \right)^3 \right)}} = {19683}^{19683^{19683}}$

И для любого $n \in N$ :

$2 \textcircled{n} 2 = 4$

Предположение и открытый вопрос : при каком минимальном значении $n \in N$ --> $3 \textcircled{n} 3$ -- будет больше или равна числу Грэма ?

Предположительно $67<n<137$

[Soul Friend]

Предложенный Дональд Кнутом стрелочная нотация возведения степеней имеет вид $x^{(x^{(x^{(x)))}}}$, в этой же теме ${(((x)}^{{{x)}^{x)}}^{x}}$

[epros]

Про гипероператор, нотацию Кнута и т.п.

[Soul Friend]

Получается, я предлагаю альтернативный метод : вычисление слева направо, которые должны соответствовать уравнениям (1) и (2).
И это $2 \textcircled{n} 2 = 4$ тоже важное условие, которое должно соблюдаться.

Soul Friend в сообщении #1630188 писал(а):

$5 \textcircled{5} 5 = (5 \textcircled{4}5) \textcircled{5}(\frac{5}{2}) = {{{5^5}^5}^5}^5 \approx 7.182120874830735{E}436$

$3 \textcircled{6} 3 = \left( \left(3^3 \right)^3 \right)^{\left( \left(3^3 \right)^3 \right)^{\left( \left(3^3 \right)^3 \right)}} = {19683}^{19683^{19683}}$

Это только мои предположительные вычисления, и они могут не соответствовать требованиям уравнении.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1630201 писал(а):

И это $2 \textcircled{n} 2 = 4$ тоже важное условие, которое должно соблюдаться.

должно соблюдаться для $n > 1$, а для $n<2$: $x \textcircled{0} x=\frac{x}{2}+1$ и $x \textcircled{1} x=x \textcircled{0}x + x-1$

[mathematician123]

Soul Friend в сообщении #1630194 писал(а):

Предложенный Дональд Кнутом стрелочная нотация возведения степеней имеет вид $x^{(x^{(x^{(x)))}}}$, в этой же теме ${(((x)}^{{{x)}^{x)}}^{x}}$

${(((x)}^{{{x)}^{x)}}^{x}} = x^{(x^3)} $

[Soul Friend]

У Дональда Кнута $3^{27}=7625597484987$, а в этой теме $27^3=19683$

(Оффтоп)

Так вот почему мне нравится Python - у него большинство операций имеет левую ассоциативность.

-- 19.02.2024, 15:50 --

Soul Friend в сообщении #1630188 писал(а):

Предположение и открытый вопрос : при каком минимальном значении $n \in N$ --> $3 \textcircled{n} 3$ -- будет больше или равна числу Грэма ?

Предположительно $67<n<137$

Кажется, это был слишком оптимистичный прогноз, от недопонимания числа Грэма. Возможно, что $n>3^{64}$