Вопрос по общей теории относительности

[Mikhail_K]

Давно интересует такой вопрос. Мне он кажется очень естественным, но чёткого ответа на него я не видел ни в одной книге по теории относительности.

Пусть есть система из двух гравитационно взаимодействующих тел. Например, двойная звезда. Используя общую теорию относительности, можно рассчитать ускорение свободного падения в любой точке пространства в любой момент времени. (Понятно, что надо при этом решить вопросы, какую выбрать систему отсчёта, какое выбрать решение уравнений ОТО - например, решение с прилетевшими откуда-то посторонними гравитационными волнами нас интересовать не будет; но, насколько я понимаю, эти вопросы можно решить подходящим естественным способом.)

Дальше я буду рассчитывать ускорение свободного падения с помощью модифицированной теории всемирного тяготения Ньютона, следующими способами. Система отсчёта везде фиксированная (например связанная с центром масс двойной системы):
а) ньютоновская теория без модификаций. Рассчитываю силы по Ньютону, основываясь на текущем местоположении двух звёзд относительно точки, в которой рассчитывается ускорение свободного падения;
б) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение в момент $r/c$ тому назад, затем рассчитываю силу по Ньютону, основываясь на этом местоположении звезды; две силы складываю и нахожу ускорение свободного падения;
в) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение и её скорость в момент $r/c$ тому назад, затем рассчитываю её текущее местоположение, какое было бы, если бы с того момента звезда двигалась равномерно, и наконец рассчитываю силу по Ньютону, основываясь на рассчитанном таким образом местоположении звезды; две силы складываю и нахожу ускорение свободного падения;
г) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение, а также её скорость и ускорение в момент $r/c$ тому назад, затем рассчитываю её текущее местоположение, какое было бы, если бы с того момента звезда двигалась равноускоренно, и наконец рассчитываю силу по Ньютону, основываясь на рассчитанном таким образом местоположении звезды; две силы складываю и нахожу ускорение свободного падения;
д) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение, её скорость, ускорение и третью производную радиус-вектора в момент $r/c$ тому назад, затем рассчитываю её текущее местоположение, какое было бы, если бы с того момента звезда двигалась с постоянной третьей производной радиус-вектора, и наконец рассчитываю силу по Ньютону, основываясь на рассчитанном таким образом местоположении звезды; две силы складываю и нахожу ускорение свободного падения.

Вопрос: какой из результатов будет ближе всего к предсказаниям общей теории относительности? Я бы предположил, что, судя по всему, вариант г) должен быть как минимум не хуже четырёх других. Но мне хотелось бы видеть чёткую формулировку и доказательство какого-то подобного утверждения.

[epros]

Если Вы во всех случаях рассчитываете силы по Ньютону, то зачем Вам скорости, ускорения и третьи производные? В законе тяготения Ньютона они не учитываются.

Существенный момент заключается в том, что в 4 случаях из 5-ти Вы зачем-то учитываете не текущее, а прошлое положение каждой звёзды. Это реально и существенно ухудшит качество результатов, так что вариант (а) - самый точный.

[Утундрий]

Вообще-то в ОТО ищут метрику, а не оперируют ускорением свободного падения или модифицированным Ньютоном. Почитать об этом можно в работах Инфельда, книге Фока, да и у ЛЛ тоже на эту тему есть.

[epros]

Хотя две последние версии неплохи, потому-что предскажут текущие положения звёзд достаточно хорошо.

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1629400 писал(а):

Существенный момент заключается в том, что в 4 случаях из 5-ти Вы зачем-то учитываете не текущее, а прошлое положение каждой звёзды.

Нет, прошлое только в пункте б), а в пунктах в)-д) - текущее, но рассчитанное по прошлому в предположении равномерности/равноускоренности/постоянства третьей производной с прошлого момента времени.

Я практически уверен, что верный ответ г) (в смысле, наиболее близкий к предсказаниям ОТО). Мне нужно подтверждение (ну или опровержение) этого со ссылкой на литературу.

[Dmitriy40]

Похоже на попытку аппроксимировать ОТО через Ньютона с запаздывающими потенциалами.

Разве вопрос не решается рангом тензора? Для ЭМ поля ранг 1 и достаточно только первой производной, для гравитации ранг 2 и надо ещё и ускорение.
Правда как учесть смещение второй гравитирующей массы не уверен, наверное 2 производной хватит только для стационарного поля (пробное тело в поле массивного).

[epros]

Я понял, что это попытка аппроксимировать. Но парабола или кривая третьего порядка аппроксимируют эллипс не настолько хорошо.

В случае одной звёзды закон Ньютона - весьма неплохая аппроксимация метрики Шварцшильда. В случае двух звёзд две искусственно объединённые метрики Шварцшильда - весьма неплохая аппроксимация реального решения. Дальше улучшить эту аппроксимацию сможет разве что учёт излучения гравитационных волн.

А приближение траекторий звёзд параболой и т.п. - это довольно плохая аппроксимация.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1629408 писал(а):

Но парабола или кривая третьего порядка аппроксимируют эллипс не настолько хорошо.

А казалось бы эллипс кривая второго порядка, должно хватить ... Видимо дело в затребованном постоянстве ускорения, а оно не постоянно и потому и мало. И если взять ускорение как функцию от чего-нибудь (не именно третьей производной), то хватит.
Всё, умолкаю.

[manul91]

Mikhail_K в сообщении #1629391 писал(а):

а) ньютоновская теория без модификаций. Рассчитываю силы по Ньютону, основываясь на текущем местоположении двух звёзд относительно точки, в которой рассчитывается ускорение свободного падения;
б) для каждой звезды, если она находится на расстоянии $r$ от интересующей точки, смотрю её местоположение в момент $r/c$ тому назад, затем рассчитываю силу по Ньютону, основываясь на этом местоположении звезды; две силы складываю и нахожу ускорение свободного падения;

Смутно припоминаю, что введение наивным способом "запаздывающего распространения гравитации со скорости света" - именно в смысле, что тела притягиваются не к тому месту в которому находится другое тело, а по направлению где оно было r/c время назад - приводит к заведомо нестабильных орбит...
И если так было бы, можно показать рассчетами что солнечная система давно должна быть распастся.
Она не распалась (и ни Ньютон, ни ОТО предсказывают такое для соответного времени существования) , значит такое заметно ухудшит точность, т.е. (по меньшей мере обычных ситуаций не сильных гравитационных полей) вариант а) будет наиблизким к результатах ОТО.

Более того, В ОТО тоже отнюдь нет ничего подобного "распространение гравитации по направлению где было тело r/c назад" ни в каких приближений. В ОТО со скоростью c, с запаздыванием, распространяются возмущения пространства-времени (гравитационные волны) - а отнюдь не "сама гравитация" запаздывает по направлению, в предполагаемом вами смысле.

[Mikhail_K]

manul91 в сообщении #1629448 писал(а):

Смутно припоминаю, что введение наивным способом "запаздывающего распространения гравитации со скорости света" - именно в смысле, что тела притягиваются не к тому месту в которому находится другое тело, а по направлению где оно было r/c время назад

Я тоже прекрасно знаю, что так не работает.
В вариант б) я и сам не верю, добавил его просто для комплекта.

[manul91]

Mikhail_K в сообщении #1629450 писал(а):

Я тоже прекрасно знаю, что так не работает.
В вариант б) я и сам не верю, добавил его просто для комплекта.

Смысл поправок по вариантов в) - г) мне непонятен.
Точнее непонятно, с какой стати надеяться что если таким образом брать "неправильные поправки" к "правильных по Ньютону" координат/направлений притяжения (методами в)-г)) - то это приблизит рассчет к предсказаний ОТО?

[epros]

manul91 в сообщении #1629451 писал(а):

Смысл поправок по вариантов в) - г) мне непонятен.
Точнее непонятно, с какой стати надеяться что если таким образом брать "неправильные поправки" к "правильных по Ньютону" координат/направлений притяжения (методами в)-г)) - то это приблизит рассчет к предсказаний ОТО?

Вариант (д) тоже не особо хорош. Приближение эллипса кривой третьего порядка с совпадающими в одной точке координатой, первой, второй и третьей производных, не сильно лучше, чем приближение параболой. Спасает только то, что смещение звезды за время $r / c$ мало.

[Mikhail_K]

manul91 в сообщении #1629451 писал(а):

Смысл поправок по вариантов в) - г) мне непонятен.

См. Фейнмановские лекции по физике, том "Излучение. Волны. Кванты", глава 28 "Электромагнитное излучение", параграф 1 "Электромагнетизм", формула (28.3). По сути, она утверждает, что для электромагнитного поля справедлив вариант в). А что для гравитационного г), должно вытекать из каких-то таких соображений

Dmitriy40 в сообщении #1629406 писал(а):

Разве вопрос не решается рангом тензора? Для ЭМ поля ранг 1 и достаточно только первой производной, для гравитации ранг 2 и надо ещё и ускорение.

Как раз их я и ищу.

Upd. Признаюсь, что варианты я написал не совсем правильно. А именно, нужно смотреть не текущее расстояние $r$ и момент времени $r/c$ тому назад, а чуть более хитро: такой момент $\widetilde r/c$ тому назад, чтобы в этот момент расстояние было равно $\widetilde r$ (такой момент обязательно существует и единственный, если гравитирующее тело движется со скоростью меньше $c$ и в текущий момент находится вне точки, в которой ищется ускорение свободного падения).

-- 13.02.2024, 18:15 --

epros в сообщении #1629457 писал(а):

Вариант (д) тоже не особо хорош.

Вариант д) приведён потому, что, как я предполагаю, он должен оказаться хуже чем г). То есть слишком хорошая аппроксимация - тоже плохо.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1629459 писал(а):

А что для гравитационного г), должно вытекать из каких-то таких соображений

Вообще-то мысль здравая. Надо смотреть, как записываются запаздывающие потенциалы для тензорного поля 2-ого ранга. Векторное поле выражается через токи, а ток это фактически скорость изменения дипольного момента. В ОТО поле выражается через ТЭИ. Если посмотреть издалека на пару притягивающихся друг к другу масс, то сила притяжения между ними - в некотором смысле является аналогом отрицательного давления в системе. А давление, как мы знаем, это часть ТЭИ. Так что вторая производная по времени от квадрупольного момента некоторым образом связана с источниками гравитации.

[Утундрий]

Когда вам надоест изобретать моноцикл с пятиугольным колесом, сообщите...