Как вычислить интеграл, не прибегая к комплексным числам

[Ascold]

Интеграл

$$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}\cos xdx.$$

Первое, что бросается в глаза - вычислить его как

$$\operatorname{Re}{\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}e^{i x}dx},$$

собрав вместе показатели экспонент и выделив полный квадрат. А без комплексной экспоненты можно как-то его вычислить?

[thething]

Ascold в сообщении #1629014 писал(а):

А без комплексной экспоненты можно как-то его вычислить?

Под косинус ввести параметр и продифференцировать. То, что получится -- проинтегрировать по частям.

[Утундрий]

Интересно, а можно ли его вычислить без использования вещественных чисел? На уровне сумм Дарбу.