Две задачи о равномощности

[gosetrov]

№1. Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно множеству всех действительных чисел

Другими словами нам нужно доказать что $\mathbb{R} \cup \mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}^3 \cup ... \sim \mathbb{R}$
Докажем для начала такое простое утверждение: $ A \sim B, C \sim D \Rightarrow A \times C \sim B\times D$, понятно что для любого элемента первого множества $\left\lbrace a, c \right\rbrace$ мы легко найдем соответсвующий ему по биекциям из $A \to B$ и $C \to D$
$\left\lbrace b_a, d_c \right\rbrace$ и это сопоставление само будет биекцией
Теперь покажем по ММИ что $\mathbb{R}^n \sim \mathbb{R}$.
База: $\mathbb{R} \sim \mathbb{R}$
Переход: Пусть $\mathbb{R}^n \sim \mathbb{R}$ покажем что $\mathbb{R}^{n + 1} \sim \mathbb{R}$.
$\mathbb{R}^n \sim [0, 1], \mathbb{R} \sim [0, 1] \Rightarrow \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \sim [0,1]^2 \sim [0,1] \sim \mathbb{R}$ читд.

Тогда $\mathbb{R} \cup \mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}^3 \cup ... \sim [0, 1] \cup [2, 3] \cup [3, 4] \cup ...$, но это объединение $\sim [0, 1]$
как показано здесь

№2 Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$.
Мы знаем что $\mathbb{R}$ равномощно множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц
Тогда давайте выпишем в столбик последовальность вещественных чисел и каждому сопоставим его представление в виде бесконечной последовательности нулей и единиц. Применим диагаональную конструкцию Кантора к получившейся таблицы, таким образом мы сможем сопоставить бесконечной последовательности действительных чисел бесконечную последовательности нулей и единиц и это сопоставление будет взаимно однозначным. Таким образом множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$.

Корректны ли эти доказательства?

[vpb]

gosetrov в сообщении #1628852 писал(а):

Применим диагаональную конструкцию Кантора к получившейся таблицы, таким образом мы сможем сопоставить бесконечной последовательности действительных чисел бесконечную последовательности нулей и единиц и это сопоставление будет взаимно однозначным. Таким образом множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$.

Ерунду написали, увы.

И еще для первой задачи надо знать, что ${\mathbb R}\times{\mathbb R}\sim{\mathbb R}$ (т.е. доказать, если это не считается еще известным).

[gosetrov]

vpb в сообщении #1628885 писал(а):

Ерунду написали, увы.

объясните, пожалуйста, в чем же ерунда?

-- 09.02.2024, 00:11 --

Так кажется я неправильно использовал понятие "диагаональная конструкция Кантора", что я имел ввиду под этим что мы должны проходить по диагоналям как это делается в доказательстве про объединение счетного числа счетных множеств т.е. если мы проиндексируем нолики и еденицы то получится такая последовательность $a_{00}, a_{01},a_{10}, a_{02},a_{11},a_{20}, a_{03},a_{12},a_{21},a_{30},...$(мне почему-то показалось что это называется "диагаональной конструкцией Кантора")

[vpb]

gosetrov в сообщении #1628891 писал(а):

объясните, пожалуйста, в чем же ерунда?

gosetrov в сообщении #1628891 писал(а):

Так кажется я неправильно использовал понятие "диагаональная конструкция Кантора"

Вот в этом. А в остальном правильно.

(Заметим в скобках, что слово "диагональный" пишется вот так, а "единица" так. А также, Вы сделали много пунктуационных ошибок (т.е., пропустили запятые и т.д. ).

[gosetrov]

Спасибо

vpb в сообщении #1628897 писал(а):

(Заметим в скобках, что слово "диагональный" пишется вот так, а "единица" так. А также, Вы сделали много пунктуационных ошибок (т.е., пропустили запятые и т.д. ).

Постараюсь следить за этим.