№1. Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно множеству всех действительных чисел
Другими словами нам нужно доказать что

Докажем для начала такое простое утверждение:

, понятно что для любого элемента первого множества

мы легко найдем соответсвующий ему по биекциям из

и

и это сопоставление само будет биекцией
Теперь покажем по ММИ что

.
База:

Переход: Пусть

покажем что

.
![$\mathbb{R}^n \sim [0, 1], \mathbb{R} \sim [0, 1] \Rightarrow \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \sim [0,1]^2 \sim [0,1] \sim \mathbb{R}$ $\mathbb{R}^n \sim [0, 1], \mathbb{R} \sim [0, 1] \Rightarrow \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \sim [0,1]^2 \sim [0,1] \sim \mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/7/7e7f5fe40198ed3f51efc1ee6ea2baf682.png)
читд.
Тогда
![$\mathbb{R} \cup \mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}^3 \cup ... \sim [0, 1] \cup [2, 3] \cup [3, 4] \cup ...$ $\mathbb{R} \cup \mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}^3 \cup ... \sim [0, 1] \cup [2, 3] \cup [3, 4] \cup ...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/4/c6413742a39736c2d73c702faa6dfeb082.png)
, но это объединение
как показано здесь№2 Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел равномощно

.
Мы знаем что

равномощно множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц
Тогда давайте выпишем в столбик последовальность вещественных чисел и каждому сопоставим его представление в виде бесконечной последовательности нулей и единиц. Применим диагаональную конструкцию Кантора к получившейся таблицы, таким образом мы сможем сопоставить бесконечной последовательности действительных чисел бесконечную последовательности нулей и единиц и это сопоставление будет взаимно однозначным. Таким образом множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел равномощно

.
Корректны ли эти доказательства?