2 творческие задачи.

[uspehBkvadrate]

Сможете помочь разобраться с задачами, пожалуйста, все нейроны уже вскипели.

1) В равенстве $ (x + \ast)(\ast x + 5) = (2x + \ast)(x + \ast) $ вы заменили звёздочки различными числами так, что оно превратилось в тождество. Какое число стоит на месте последней звёздочки?

Я действую в лоб:

$ (x +a)(b x + 5) = (2x + c)(x + d) $

Уравнение после раскрытия скобок с обеих сторон примет вид:

$$ bx^2 + (ab + 5)x + 5a = 2x^2 + (d + c)x + cd $$

Теперь, чтобы уравнение было тождеством (то есть верным при любых значениях $x$), коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны.
1. Сравниваем коэффициенты при $x^2$: $ b = 2 $

2. Сравниваем коэффициенты при $x$: $ ab + 5 = d + c $
После подстановки $b = 2$, получаем: $ 2a + 5 = d + c $

3. Сравниваем свободные члены: $ 5a = cd $

Домножим вот это $ 2a + 5 = d + c $ на $5$ и $ 5a = cd $ на $2$, получим $2cd=5c+10d-25$.

Если вдруг наши коэффиценты - целые числа, то:

Левая часть делится на $2$, правая тогда тоже. Правая делится на $5$, значит левая - тоже.

Тогда $cd\le 5$. И каждая из частей хотя бы 5, если речь про натуральные числа. А далее можно немного сгруппировать.

$(2d-5)(c-5)=0$. Тогда $c=5$ или $d=2,5$.

Если $c=5$, то $a=d$, то есть это нам не подходит. Остается вариант $d=2,5$

Тогда $ 5a = 2,5c $ или $c=2a$.

$ 2a + 5 = d + c $ превращаем в $2a+5=2,5+2a$ и все накрылось опять. Пришли к успеху. Как же так?

Но что-то мне это не очень нравится, вся эта полученная история. Точно ли это решается нормально?

2) На основании $ AB $ равнобедренного треугольника $ ABC $ выбрана точка $ K $ так, что $ BK = BC $. Из точки $ K $ опустили перпендикуляр на сторону $ BC $, который поделил треугольник $ ABC $ на две части. У какой из частей (треугольной или четырёхугольной) периметр больше?

У меня получилась такая картинка.



Нужно сравнить $a+b+x+y$ и $2y-a+b$, то есть нужно выяснить - что больше $x+a$ или $y-a$. Для этих целей отложил розовый отрезок на основании равнобедренного треугольника. Таким образом нам нужно сравнить $AR$ и $RB$. Визуально больше будет $AR$. Но мне кажется, что недостаточно аргументации, может быть я криво нарисовал. Как правильно раскручивать?

[svv]

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

$ b = 2 $

Да. Тут однозначно.
Теперь разделим обе части на $2$, получим:
$ (x+a)(x + \frac 5 2) = (x + \frac c 2)(x + d)$
В левой части полином второй степени с корнями $-a$ и $-\frac 5 2$ (или одним кратным корнем $-\frac 5 2$, если $a=\frac 5 2$).
В правой части полином второй степени с корнями $-\frac c 2$ и $-d$ (с аналогичной оговоркой).
Полиномы равны, значит, множество корней "левого" полинома совпадает с множеством корней "правого", поэтому $\{a,\frac 5 2\}=\{\frac c 2,d\}$.
Но что тут конкретно с чем совпадает? Может быть, есть варианты?

[uspehBkvadrate]

svv в сообщении #1628478 писал(а):

Но что конкретно с чем совпадает? Может быть, есть варианты?

Точно, все понял, спасибо. $d=2,5$

Но все равно. Есть вроде бы нюансы. У меня тоже получалось $d=2,5$

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

или $d=2,5$.

Если $c=5$, то $a=d$, то есть это нам не подходит. Остается вариант $d=2,5$

Тогда $ 5a = 2,5c $ или $c=2a$.

$ 2a + 5 = d + c $ превращаем в $2a+5=2,5+2a$ и все накрылось опять. Пришли к успеху. Как же так?

Но из этого равенства
$ (x +a)(x + \frac 5 2) = (x + \frac c 2)(x + d)$

Получаем:

$ (x +a)(x + \frac 5 2) = (x + \frac c 2)(x + \frac 5 2)$

И вроде бы $c=2a$, $d=2,5$, $b=2$. Вроде бы складно. Ну да ладно=)

[svv]

uspehBkvadrate в сообщении #1628479 писал(а):

Точно, все понял, спасибо. $d=2,5$

Погодите, я как раз намекал на то, что есть 2 варианта:
$\begin{array}{l}\bullet\;\frac c 2=a, d=\frac 5 2\\[1ex]\bullet\;d=a, \frac c 2=\frac 5 2\end{array}$

[uspehBkvadrate]

svv в сообщении #1628480 писал(а):

кал на то, что есть 2 варианта:
$\begin{array}{l}\bullet\;\frac c 2=a, d=\frac 5 2\\[1ex]\bullet\;d=a, \frac c 2=\frac 5 2\end{array}$

Второй вариант я сразу отсеял из-за того, что по условию:

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

заменили звёздочки различными числами

[Евгений Машеров]

Э-мюэ...
Первый сомножитель слева совпадает с последним справа (ну как совпадает - "с точностью до звёздочки"). Но если у нас звёздочки соответствуют разным числам, то тождества не будет (в первом сомножителе справа коэффициент при иксе 2, так что "заменить", став равным первому слева, он не может). Стало быть, какое бы число бы не вставляли, лишь бы одинаковое в этих сомножителях, тождество это нарушать не будет (ну, ещё обеспечить тождественность других сомножителей, но у нас звёздочки в одном случает коэффициент при иксе, в другом свободный член, так что определяем сходу)
$(x+a)(2x+5)=(2x+5)(x+a)$, где a произвольное.

[uspehBkvadrate]

Спасибо. Вроде бы все понятно, кроме одного

Набор $a=50, b =2, c=100, d=2,5$ подходит сюда $ (x+a)(x + \frac 5 2) = (x + \frac c 2)(x + d)$ и сюда $ (x +a)(b x + 5) = (2x + c)(x + d) $.

Но уравнение $ (x +a)(b x + 5) = (2x + c)(x + d) $после раскрытия скобок с обеих сторон примет вид:

$$ bx^2 + (ab + 5)x + 5a = 2x^2 + (d + c)x + cd $$

Но сюда этот набор $a=50, b =2, c=100, d=2,5$ уже не подходит.

[Andrey A]

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

Я действую в лоб:

$ (x +a)(b x + 5) = (2x + c)(x + d) $

Сначала нужно понять, в каких числах требуется найти решение. В вещественных? В рациональных? В целых?
В первом случае дело сводится к квадратному уравнению. Во втором случае можно приравнять скобочки последовательно $=p,=qr, =pr,=q$ и решить линейную сит. $4$-х уравнений относительно $x,a,c,d.$
$2,5$ кажется Вас устраивает. Если же речь о диофантовом уравнении, там дальше действительно можно пофантазировать. А то сразу в лоб.

[EUgeneUS]

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

Какое число стоит на месте последней звёздочки?

В вещественных числах: любое, кроме $1/2$.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1628525 писал(а):

В вещественных числах: любое, кроме $1/2$.

Еще $0$ и $5$ можно исключить, так как в приведенной в условиях задачи записи $+0$ не пишут.

[uspehBkvadrate]

EUgeneUS в сообщении #1628535 писал(а):

В вещественных числах: любое, кроме $1/2$.

Но это ведь заведомо неверно, так как цифры различные и говорят про тождество.

[EUgeneUS]

uspehBkvadrate
Метод решения почти такой же, как предложили Вы: обозначаем "звездочки" буквами и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Получаем три уравнения на четыре неизвестных.

Сразу получаем $b=2$, остается два уравнения на три неизвестных.
Решение системы записываем в виде $a(d), c(d)$ и смотрим на области определения получившихся функиций.
Условия про различность чисел я пропустил действительно
Поэтому в систему нужно добавить 6 неравенств (четыре неизвестных попарно не равны). Это еще вычеркнет некоторые значения для $d$.

[mihiv]

Во второй задаче чертеж неудачный. $CR$ должна быть высотой $\triangle ABC$.
Попробуйте доказать, что периметры равны.

[EUgeneUS]

(работа над ошибками )

"исправил" ошибку тут:

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

Домножим вот это $ 2a + 5 = d + c $ на $5$ и $ 5a = cd $ на $2$, получим $2cd=5c+10d-25$.

да не там
Там двойка потеряна при $d$ в уравнении $2a + 5 = d + c $. А вот это верно: $2cd=5c+10d-25$.
Тогда $5c+10d-25-2cd=(c-5)(5-2d)=0$, и получаем те варианты, которые уже были рассмотрены.

[Andrey A]

(В целых числах)

uspehBkvadrate в сообщении #1628477 писал(а):

$ (x +a)(b x + 5) = (2x + c)(x + d) $

В целых числах:
Для произвольных $b,x$ найдутся целые $p,q$ такие, что $bx+5=pq$ (факторизация).
Тогда $a=mn-x,c=qm-2x,d=pn-x$ удовлетворяют уравнению при любых $m,n.$ Насчет творчества не очень понятно.
При заданных $b,p$ уравнение $pq-bx=5$ имеет бесконечные серии решений. Поинтересуйтесь на досуге.