Оценка RMS

[EUgeneUS]

1. Есть периодическая функция $f(t)$.
2. Среднее функции по периоду - ровно ноль.
3. Вид функции (на периоде): длительное (сильно больше половины периода), но не глубокое, плато в отрицательной области, и короткий (сильно меньше половины периода) выброс в положительную область.

Задача: измерить (или более-менее точно оценить) RMS, то есть величину:

$$\text{RMS} = \frac{1}{T_0} \sqrt{\int\limits_{t_0}^{t_0+T_0} (f(\tau))^2 d \tau}$$

где, $t_0$ - любой момент времени, $T_0$ - период функции.

Для этих целей есть "астролябия - сама меряет", которая работает так:

1. Она считает $\text{RMS}$, но не по периоду, а по какому-то интервалу:

$$\text{A} = \frac{1}{T_1} \sqrt{\int\limits_{t_0}^{t_0+T_1} (f(\tau))^2 d \tau}$$

где $T_1$ - некий интервал (времени), но $T_1$ совсем не обязательно равен периоду $T_0$, и нет гарантии, что он ему кратен.

2. Астролябию можно настраивать так, чтобы она измеряла RMS по интервалам разной длительности. Но ни для какого из них нет информации, что он равен или кратен периоду.

3. В зависимости от настроек, мы получим некий набор измерений $A_i$.

Вопрос, как из этого набора измерений получить оценку "честного" RMS? И какая погрешность будет в этой оценке?

-- 02.02.2024, 19:59 --

В качестве собственных попыток решения.

Плавно изменяем $T_1$.
Минимальное значение $A$ мы получим тогда, когда в $T_1$ войдет $n$ плато и $n-1$ выбросов.
Максимальное значение $A$ мы получим тогда, когда в $T_1$ войдет $n+1$ плато и $n$ выбросов.
Можно посчитать среднее арифметическое между минимумом и максимум, и рассматривать это, как оценку RMS.
Но насколько эта оценка будет адекватной (пока) не могу сообразить.
И даже есть некоторые сомнения, что эту оценку вообще можно получить

[EUgeneUS]

Поправка: отношение к периоду расчета, конечно, должно быть под корнем.
Сорри, за такую досадную ошибку.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
А что, нельзя взять время анализа в тысячу периодов и не заморачиваться о том, вошло туда еще полпериода или нет? Так обычно делается.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
Если взять время анализа в тысячу периодов, то при выборке, скажем в тысячу точек вообще что-то случайное получим.

Конечно, можно попробовать устроить что-то типа Монте-Карло, но там наоборот, нужно обеспечивать хороший "ГСЧ".

Если взять где-то сотню периодов, например, то точность в 1% устроит, но нет уверенности, что форма, а значит и площадь, узкого пика будет посчитана с той-же точностью.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Можно тогда настроить окно точно на величину периода сигнала, а фаза не важна. Это если период постоянный, конечно. Но если нет возможности точной настройки окна, как я понял, то это не годится.

[=SSN=]

EUgeneUS в сообщении #1628217 писал(а):

1. Есть периодическая функция $f(t)$.
...
Задача: измерить (или более-менее точно оценить) RMS

Если вы посмотрите на определение RMS для конечного числа отсчетов дискретного сигнала, то вы увидите там формулу для обычного НЧ КИХ фильтра известного в узких кругах под названием скользящее среднее, причем на вход этого фильтра вместо отсчетов самого сигнала s(t) подают квадраты этих отсчетов: s(t)^2. Единственная функция этого НЧ фильтра, это выделение постоянной составляющей из входного сигнала s(t)^2 и подавление всех частот отличных от нуля. К сожалению, АЧХ НЧ фильтра на основе скользящего среднего далека от идеала. Помимо основной полосы пропускания на нулевой частоте в ней имеются паразитные полосы пропускания форма и положение которых в первом приближении соответствуют АЧХ заданной sinc-функцией. (Если быть совсем точным, то АЧХ скользящего среднего задается функцией Дирихле). Поэтому вместо КИХ фильтра на основе скользящего среднего для выделения НЧ составляющей сигнала используют НЧ КИХ фильтр с нужным уровнем подавления сигнала вне полосы пропускания. Такой фильтр проще всего получить выбрав в качестве импульсной характеристки фильтра любое из известных окон - Кайзера, Ханна, Гаусса, и т.п.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1628275 писал(а):

Можно тогда настроить окно точно на величину периода сигнала, а фаза не важна.

Период постоянный.
Возможно, не полностью разобрался с функционалом "астролябии". Например, если там есть измерении RMS с помощью курсоров, то практический вопрос решается тривиально.

Однако, сейчас известно, что фактическая выборка гораздо больше, чем показывается пользователю. И какие-то достоверные методы проверить, что в выборку попало целое число периодов, отсутствуют.

-- 03.02.2024, 08:34 --

=SSN=
Спасибо за ответ.
Но у меня задача не построить измеритель RMS, а использовать имеющийся - цифровой осциллограф.
RMS он считать умеет, в том смысле, что такое значение по полученной выборке выводит.
Но мне нужно измерить с точностью до единиц процентов, не хуже 5%, а лучше 1-2%.

Форму окна, кстати, он тоже умеет менять, но только при расчете FFT, но это не то, что нужно.

-- 03.02.2024, 08:46 --

=SSN= в сообщении #1628278 писал(а):

(Если быть совсем точным, то АЧХ скользящего среднего задается функцией Дирихле)

Уточните, пожалуйста, что тут имеется в виду под "функцией Дирихле".

[=SSN=]

EUgeneUS в сообщении #1628279 писал(а):

Но у меня задача не построить измеритель RMS, а использовать имеющийся - цифровой осциллограф.
Но мне нужно измерить с точностью до единиц процентов, не хуже 5%, а лучше 1-2%.

Так и сохраните в файле значения сигнала измеренного запоминающим цифровым осциллографом, а потом посчитайте RMS в MATLAB'е.

-- 03.02.2024, 08:54 --

EUgeneUS в сообщении #1628279 писал(а):

Уточните, пожалуйста, что тут имеется в виду под "функцией Дирихле".

https://www.mathworks.com/help/signal/g ... ction.html

[EUgeneUS]

=SSN= в сообщении #1628282 писал(а):

Так и сохраните в файле значения сигнала измеренного запоминающим цифровым осциллографом, а потом посчитайте RMS в MATLAB'е.

Тоже вариант. Спасибо за идею.
При наличии выборки "на руках" нет никаких проблем обрезать её до целого количества периодов. Тогда точность в единицы процентов легко достигается.
Пока этот вариант выглядит "организационно громоздким", но вполне проходной. И при отсутствии более удобных альтернатив, видимо придется делать так.

=SSN= в сообщении #1628282 писал(а):

https://www.mathworks.com/help/signal/g ... ction.html

Спасибо.

[Евгений Машеров]

А по какому числу периодов реально усреднять? У меня тут грубая прикидка. Если "позитивная фаза" составляет долю $a$ от периода, а "негативная" $1-a$, то средние значения, соответственно, $\frac R a$ и $\frac R {1-a}$, а величина под корнем $\frac {R^2} a+\frac {R^2}{1-a}$. Если усреднять по n периодам, то максимальные отклонения в ту и другую сторону будут $\frac{\frac {nR^2} a+\frac {(n+1)R^2}{1-a}}{n+1-a}$ и $\frac{\frac {(n+1)R^2} a+\frac {nR^2}{1-a}}{n+a}$
Похоже, что на 5% точность можно выйти при усреднении по десятку периодов...

[EUgeneUS]

Евгений Машеров
Спасибо!

Евгений Машеров в сообщении #1628404 писал(а):

А по какому числу периодов реально усреднять?

Размер выборки 500k, обещают.
Ширина импульса, пусть одна двадцатая периода.
Форма импульса - узкий пик, что-то типа куска гауссианы. То есть особо крутых фронтов нет.
Пусть будет достаточно 25 отсчетов на пике, чтобы посчитать RMS по периоду с требуемой точностью.
Тогда усреднять можно по $n=500000/(25 \ctime 20) = 1000$ периодам.
Хватает с запасом. Но нужно быть уверенным, что астролябия считает RMS по всей выборке.

Кстати, "астролябия" сама умеет выделять периодический сигнал, так как умеет считать частоту и период.
Поэтому есть вероятность, что посчитает trueRMS по периоду. Тогда практический вопрос решится сам собой.

[Dmitriy40]

EUgeneUS

(Чисто технические моменты.)

Сталкивался что осцилы считают параметры не по всей выборке, а по отображаемому окну, сколь бы мало оно не было (и если влезает менее полдесятка периодов, то соответственно насчитает любую чушь). Особенно если в режиме показа входного сигнала, не в стопе. На это следует обратить внимание (показания не должны меняться при смене размера отображаемой части выборки).
Далее, при наличии шумов на фронтах измеритель частоты часто показывает откровенную чушь (видит лишние перепады). Повлияет ли это на RMS я не знаю, скорее всего нет, так как для измерений показания частотомера не используются, это чисто справочная информация, но допускаю. Это в некоторой степени лечится выставлением времени holdoff в параметрах синхронизации немногим меньше периода сигнала (или с запасом больше времени паразитных колебаний).
Если есть режим курсорных измерений и измерение RMS в нём работает - использовать его, руками выставив границы периода (двух, трёх).
Для проверки адекватности показаний можно использовать инверсию входного сигнала (RMS должно понятно как поменяться), или подать внешнюю постоянную составляющую в сигнал (включить щуп последовательно с любой батарейкой).
Внешний подсчёт по запомненной выборке - разумеется самый правильный метод. По крайней мере для сверки показаний - один раз провести и выбрать адекватный встроенный режим измерений с теми же показаниями.

[EUgeneUS]

Dmitriy40
Спасибо!
Многое из этого подозревал, но свести все вопросы вместе - это очень поможет!

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1628436 писал(а):

Далее, при наличии шумов на фронтах измеритель частоты часто показывает откровенную чушь (видит лишние перепады). Повлияет ли это на RMS я не знаю, скорее всего нет, так как для измерений показания частотомера не используются, это чисто справочная информация, но допускаю.

Залез в описание своего осциллографа, там указано, что считает "Cyc RMS" - а это как раз по периоду.
Видимо, между соседними срабатываниями триггера развертки.
Если так, то вопрос решается. Но "на месте" будет другой осциллограф, впрочем, вряд ли он будет принципиально отличаться. Но всё таки, предполагаю проверить, насколько будет изменяться измеренное RMS при изменении частоты развертки.

Если интересно, зачем всё это. При ремонте телевизора с ЭЛТ был заменен ТДКС, но не "в точности", а на "аналог". У аналога оказались заниженные выходные напряжения. Анодное и фокус выставились "крутилками", для строчной развертки домотали несколько витков и далее настройками. Остался накал. Телевизор при включении показывает зеленым цветом, после прогрева показывает нормально - всё указывает на заниженное напряжение накала. Вот его и надо выставить. А накал питается с ТДКС строчными импульсами.

[Dmitriy40]

EUgeneUS

(Оффтоп)

Я всё же подчеркну ещё раз: про изменение показаний при кручении ручки развёртки я имел в виду что когда в отображаемое окно не помещается весь период (а лучше штук 5), то измерения (и RMS возможно тоже) показываются сильно неправильно. При этом сигнал реально пишется в длинную память с десятками периодов и синхронизация срабатывает чисто и по идее ожидаешь что измерения должны быть точными, однако если именно на экране слишком мало сигнала (особенно когда меньше периода), то измеряется чушь. Подбешивает, крутишь развертку и сильно меняются показания.
Что с этим в режиме стопа (отображении запомненного сигнала) не помню.
Возможно это артефакт именно моего ОВОНа, но кажется и на риголах такое было. Про тектроникс не скажу, у виденных память маленькая (только на экран).

В чём смысл обозначения Cyc RMS и привязано ли оно к периоду входного сигнала стоит выяснить подробнее, догадки дело такое. По инструкции или опытным путём.

Ремонтировать же ЭЛТ телевизоры ... Хм, LCD 32" стоят около 10тр, а 50" около 20тр (был поражён вторым когда узнал). Ну да, левые, но вполне рабочие, и на порядок лучше любого ЭЛТ.

[EUgeneUS]

Dmitriy40

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1628445 писал(а):

В чём смысл обозначения Cyc RMS и привязано ли оно к периоду входного сигнала стоит выяснить подробнее, догадки дело такое. По инструкции или опытным путём.

По определению - считается за период. А как по факту - да, проверять надо.

Dmitriy40 в сообщении #1628445 писал(а):

Ремонтировать же ЭЛТ телевизоры ... Хм,

Согласен. Потому и осциллограф не мой