Задача по теории вероятностей

[Vetchman]

7 рукописей случайно раскладывают по 6 папкам. Определить вероятность того, что ровно одна папка останется пустой.

Найти количество всех возможных исходов я смог (если я, конечно, правильно понял): размещаем с повторениями 6 папок по 7 рукописям (вроде бы, 1-я рукопись во 2-й папке со 2-й рукописью в 3-й папке, и 1-я рукопись в 3-й папке со 2-й рукописью во 2-й папке это разные вещи, поэтому и размещения).
Но вот найти количество благоприятных исходов я никак не могу. Ведь надо найти такие размещения, чтобы в каждой папке была минимум одна рукопись, но в отдельной папке может быть и две, и три рукописи. Как это всё посчитать, ума не приложу.

[Yadryara]

Ну то есть Вы смогли найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 6 папок, но не можете найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 5 папок ??

[gris]

Кто о чём, а я о том
(10:52) gp > {w=vector(7,i,[1,2,3,4,5,6]); n=0; k=0;
forvec(v=vector(#w,i,[1,6), n++; if(#Set(v)==5, k++); );
printf("%d / %d = %.2g\n", k,n,k/n); }
100800 / 279936 = 0.36
time = 2h, 25min, 57,069 ms.
Ну и если вдруг
exactly 1 folders: 6 / 279936 = 2.1 e-5
exactly 2 folders: 1890 / 279936 = 0.0068
exactly 3 folders: 36120 / 279936 = 0.13
exactly 4 folders: 126000 / 279936 = 0.45
exactly 5 folders: 100800 / 279936 = 0.36
exactly 6 folders: 15120 / 279936 = 0.054
Это не решение, конечно, но может пригодиться для проверки

[Vetchman]

Yadryara в сообщении #1628080 писал(а):

Ну то есть Вы смогли найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 6 папок, но не можете найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 5 папок ??

Если я посчитаю разложения так, как Вы предлагаете, то будут учитываться варианты, где все рукописи в одной папке, или в обеих и т. д. Мне же найти количество вариантов, где все 5 папок заняты и сложность в том (по крайней мере, для меня), что в папке может быть несколько рукописей и простую формулу тут не применишь.

-- 02.02.2024, 11:57 --

Yadryara в сообщении #1628080 писал(а):

Ну то есть Вы смогли найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 6 папок, но не можете найти количество способов как разложить 7 рукописей заняв ровно 5 папок ??

Или я что-то не понимаю?

-- 02.02.2024, 11:58 --

gris в сообщении #1628093 писал(а):

Кто о чём, а я о том
(10:52) gp > {w=vector(7,i,[1,2,3,4,5,6]); n=0; k=0;
forvec(v=vector(#w,i,[1,6), n++; if(#Set(v)==5, k++); );
printf("%d / %d = %.2g\n", k,n,k/n); }
100800 / 279936 = 0.36
time = 2h, 25min, 57,069 ms.
Ну и если вдруг
exactly 1 folders: 6 / 279936 = 2.1 e-5
exactly 2 folders: 1890 / 279936 = 0.0068
exactly 3 folders: 36120 / 279936 = 0.13
exactly 4 folders: 126000 / 279936 = 0.45
exactly 5 folders: 100800 / 279936 = 0.36
exactly 6 folders: 15120 / 279936 = 0.054
Это не решение, конечно, но может пригодиться для проверки

Ничего не понял, но очень интересно.

[Yadryara]

Vetchman в сообщении #1628100 писал(а):

Или я что-то не понимаю?

Ну давайте разбираться.

-- 02.02.2024, 12:37 --

Vetchman в сообщении #1628100 писал(а):

Ничего не понял, но очень интересно.

Я, наоборот, всё понял и это не очень по правилам.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1628093 писал(а):

exactly 5 folders: 100800 / 279936 = 0.36

Что примерно равно $e^{-1}$ .

[provincialka]

А вы сначала разложите рукописи по одной в 5 папок, а остальные уже кидайте случайным образом.
Я так понимаю, они ведь не различаются у вас?

[Yadryara]

Vetchman, разложите пока 7 рукописей в одну и в две папки.

[Yadryara]

gris в сообщении #1628093 писал(а):

Кто о чём, а я о том

О том, что для квадратных скобок не надо соблюдать парность?

Или о том, что существует $1890$ способов разложить $7$ рукописей ровно по 2-м папкам? У меня, кстати, столько же получилось. Если и рукописи и папки различать.

-- 02.02.2024, 15:24 --

$36120$ для трёх папок тоже подтверждаю.

[gris]

Yadryara, позавчера у кого-то закончилась сессия с прежним результатом, но я тоже не потерял привычки уворачиваться .
Да, квадратная скобка утеряна не с целью предотвратить нелицензионное использование программы. Согласно недавнего опроса, я многократно пользуюсь предпросмотром, но по причине боязни обгона спешу и допускаю, понимаете ли. В надежде успеть на правку. Но вы же знаете, как нас ограничивают А кроме того, я отвлёкся на возможное нарушение пункта о выставлении решения, о чём и сделал отговорку. Моё сообщение не является решением задачи ТС. И забыл о квадратной скобке. Виноват-с
Когда мы используем классическую вероятность, то нам главное считать общие и удовлетворяющие исходы одинаково. И вот тут приходится различать папки и рукописи. Вероятно, 1890 способов можно трактовать по разному и даже не различать изоморфные способы. Ещё более вероятно, что я просто ошибся.
мат-ламер Намекаете на отсутствие беспорядка?

[TOTAL]

Я так понимаю условие.
Все семизначные числа. В каждом разряде стоят цифры от $1$ до $6$.
Количество всех вариантов - понятно.
Найти количество чисел, в которых отсутствует ровно одна цифра.

[мат-ламер]

Насчёт понимания условия. Вот недавно темка была в которую я влез и попросил прояснить условие. Всё же, когда пишут

Vetchman в сообщении #1628067 писал(а):

7 рукописей случайно раскладывают по 6 папкам.

то естественно предположить (ИМХО), что последовательно берут каждую рукопись и с одинаковой вероятностью помещают её в случайно выбранную папку. Такого типа задачи можно решать с помощью фомулы включений-исключений .

[Yadryara]

gris в сообщении #1628131 писал(а):

Ещё более вероятно, что я просто ошибся.

Почему же. Я выше подтвердил, что для двух и трёх папок посчитано верно. Аналогичными рассуждениями получил те же числа и для всех других раскладок.

Так что здорово Вы разобрались с фраерами векторами.

[Yadryara]

TOTAL в сообщении #1628139 писал(а):

Я так понимаю условие.
Все семизначные числа. В каждом разряде стоят цифры от $1$ до $6$.
Количество всех вариантов - понятно.
Найти количество чисел, в которых отсутствует ровно одна цифра.

Мы с grisом так же его поняли.
Могу показать как $100800$ получить, но что мы всё за ТС будем делать?

Yadryara в сообщении #1628269 писал(а):

Так что здорово Вы разобрались с векторами.

Хотя вот это лишнее:

w=vector(7,i,[1,2,3,4,5,6]);

Можно полностью убрать, а дальше просто вместо #w поставить 7.

[мат-ламер]

Vetchman в сообщении #1628067 писал(а):

7 рукописей случайно раскладывают по 6 папкам. Определить вероятность того, что ровно одна папка останется пустой.

Задачу можно обобщить. Пусть $n$ рукописей случайно раскладывают по $m$ папкам. Найти закон распределения случайной величины, которая равна количеству пустых папок в итоге. Я тут случайно натолкнулся на книгу Колчина и др. по случайным размещениям. Случайный расклад в этой книге понимается как

мат-ламер в сообщении #1628213 писал(а):

естественно предположить (ИМХО), что последовательно берут каждую рукопись и с одинаковой вероятностью помещают её в случайно выбранную папку.