Доказать что множество прямых равномощно множеству точек

[gosetrov]

Условие: Доказать что множество прямых равномощно множеству точек на плоскости

1. Каждую прямую пересекающие оси кординат в двух точках $p_1, p_2$, где $p_1$ пересечение с осью $x$ и $p_2$ пересечение с осью $y$ тогда эту прямую можно сопоставить, например, с точкой $(p_1_x, p_2_y)$
2. Все горизонтальные прямые за исключением той что проходит через $(0, 0)$ можно сопоставить с точкой пересечения с осью $y$
3. Все вертикальные прямые за исключением той что проходит через $(0, 0)$ можно сопоставить с точкой пересечения с осью $x$

Таким образом мы сопоставили все точки на плоскости со всеми прямыми за исключением точки $(0, 0)$ и всех прямых проходящих через нее.

Теперь рассмотрим концентрические окружности с центров в $(0, 0)$ и радиусом $R_1 = 1, R_2 = 2, R_3 = 3, ...$
Все прямые проходящие через $(0, 0)$ можно сопоставить с точкой их пересечения с $R_1$, все прямые определенные по правилам 1,2,3 сопоставленные с точками на окружности
$R_1$ можно пересопоставить с $R_2$ следующим образом: проведем луч через точку $(0, 0)$ и $p_R_1$ на $R_1$ тогда пересечение c $R_2$ даст нам $p_R_2$ которую мы и сопоставим с $p_R_1$, аналогичным образом $R_2 \to R_3, R_3 \to R_4, ...$

Теперь остается разобраться с $(0, 0)$. Тут воспользуемся теоремой об объединение бесконечного и конечного множества.

Подскажите, пожалуйста, корректно ли это доказательство? Можно ли его улучшить?

[mihaild]

А теорема Кантора-Бернштейна (что если $A$ равномощно подмножеству $B$, а $B$ равномощно подмножеству $A$, то $A$ равномощно $B$) уже есть?

[gosetrov]

Пока не дана, но попробую подумать как и с помощью нее доказать.