Четыре уголка разного цвета

[qwert129]

Все клетки клетчатого квадрата 2n × 2n раскрашены в один из
четырёх цветов. В каждом блоке 2 × 2 присутствуют все 4 цвета. Докажите, что 4 угловых клетки раскрашены в разные цвета.

[TOTAL]

Очевидно, клетки левой плюс правой границы без уголков составляют сколько-то полных комплектов цветов.
Аналогично с нижней плюс верхней границей и внутренностью.
Поэтому на уголки тоже приходится полный комплект.

[mihaild]

Я бы так сформулировал: припишем каждому цвету базисный вектор из $\mathbb Z_2^4$, возьмем все квадраты $2 \times 2$, в каждом посчитаем сумму его векторов, и сложим все квадраты.
С одной стороны, сумма по каждому квадрату это $(1, 1, 1, 1)$, а квадратов $(2n - 1)^2$ - нечетно, так что сумма по всему полю $(1, 1, 1, 1)$.
С другой - каждая не-угловая клетка входит в сумму $2$ или $4$ раза, а значит дает нулевой вклад в итоговую сумму. Значит сумма угловых клеток это $(1, 1, 1, 1)$.

[Gagarin1968]

Эта задача уже обсуждалась на форуме 6 лет назад:
Задача на раскраски( метод мат индукции)

[TOTAL]

Можно и методом индукции.
Околоугловые клетки составляют три полных комплекта.
Поэтому угловые клетки составляют полный комплект.