Извлечение счетного множества из бесконечного несчетного

[gosetrov]

Есть такая задача(Шень, Логика): Докажите, что если $ A $ бесконечно и не является счётным, а $ B $ конечно или счётно, то $ A \setminus B $ равномощно $ A $.
Понятно что $A \cap B $ конечно или счётно, тогда если $A \setminus B$ бесконечно то доказательство простое: $ (A \setminus B) \cup B \sim A \setminus B $ (пользуемся теоремой об объединение счетного и бесконечного множества), но $ (A \setminus B) \cup B \sim A$ тогда $A \sim (A \setminus B) $.
Вопрос в том, можем ли мы считать что извлечение счетного множества из бесконечного и несчетного множества оставляет его бесконечным(как будто это и есть определение бесконечного несчетного множества)?

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1626487 писал(а):

Вопрос в том, можем ли мы считать что извлечение счетного множества из бесконечного и несчетного множества оставляет его бесконечным

Допустим, что $A$ счетно, а $B \setminus A$ конечно. Докажите, что $B \subset (B \setminus A) \cup A$ не более чем счетно.

[gosetrov]

Спасибо за подсказку!
$ (B \setminus A) \cup A \sim A$ по теореме об объединение конечного и бесконечного множества, тогда $B$ подмножество счетного множества, а значит само не более чем счетно. Следовательно при извлечение счетного множества остаток может быть конечен тогда и только тогда когда искомое множество было не более чем счетное, а у нас оно бесконечное и несчетное, тогда при извлечение счетного множества из него останется все еще бесконечное. Правильно?

[mihaild]

Да, всё правильно.
(если не уходить в мои любимые дебри бесконечных множеств, у которых нет счетных подмножеств)

[Sinoid]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1626505 писал(а):

бесконечных множеств, у которых нет счетных подмножеств

А что, есть и такиие Можете привести простой пример для не очень сильного в теории множеств?

[EminentVictorians]

Sinoid в сообщении #1626517 писал(а):

mihaild в сообщении #1626505 писал(а):

бесконечных множеств, у которых нет счетных подмножеств

А что, есть и такиие Можете привести простой пример для не очень сильного в теории множеств?

Если верите в аксиому выбора (хотя бы счетную), то таких нету.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1626517 писал(а):

А что, есть и такиие Можете привести простой пример для не очень сильного в теории множеств?

Если множество бесконечное, из него можно взять один элемент, затем второй элемент, затем третий элемент и так далее - они не закончатся - составить из них последовательность - вот и будет счётное подмножество.

Понятно, что это не совсем строгое рассуждение (хотя подобные рассуждения вполне допустимы в любом разделе математики, кроме собственно аксиоматической теории множеств и математической логики). Оно означает, что к такой диковинке - бесконечным "множествам", не содержащим счётных подмножеств - и вообще, к "множествам" в теории множеств без аксиомы выбора - следует относиться вообще не как к настоящим множествам, а как к математическим объектам, только иногда ведущим себя как множества, в чём-то на них похожим, а в чём-то и нет.

[warlock66613]

Mikhail_K в сообщении #1626583 писал(а):

Понятно, что это не совсем строгое рассуждение

Это мягко говоря. Если точнее, оно катастрофически неверное. Это рассуждение доказывает, что у бесконечного множества есть сколь угодно большое конечное подмножество. Но вот счётное подмножество так не построить.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1626583 писал(а):

Если множество бесконечное, из него можно взять один элемент, затем второй элемент, затем третий элемент и так далее - они не закончатся - составить из них последовательность - вот и будет счётное подмножество.

Так это все понятно; но речь-то о другом была. Да, я действительно пока не очень силен в теории множеств, если не могу понять, как это:

Mikhail_K в сообщении #1626583 писал(а):

Понятно, что это не совсем строгое рассуждение (хотя подобные рассуждения вполне допустимы в любом разделе математики, кроме собственно аксиоматической теории множеств и математической логики). Оно означает, что к такой диковинке - бесконечным "множествам", не содержащим счётных подмножеств - и вообще, к "множествам" в теории множеств без аксиомы выбора - следует относиться вообще не как к настоящим множествам, а как к математическим объектам, только иногда ведущим себя как множества, в чём-то на них похожим, а в чём-то и нет.

отвечает на это:

Sinoid в сообщении #1626517 писал(а):

Можете привести простой пример для не очень сильного в теории множеств?

Мне бы пример таких множеств, доступный для осмысления, манипуляций с ним мной

-- 20.01.2024, 16:01 --

warlock66613 в сообщении #1626585 писал(а):

Это мягко говоря. Если точнее, оно катастрофически неверное. Это рассуждение доказывает, что у бесконечного множества есть сколь угодно большое конечное подмножество. Но вот счётное подмножество так не построить.

Да, это так, но, например, в Курсе высшей алгебры Куроша точно так же "доказывается" существование счетного подмножества у всякого бесконечного множества. Так что это, я думаю, стандартный ход мысли при изложений "доказательств" подобного рода утверждений в недостаточно строгих учебниках. Впрочем, такие претензии конструктивисты могут предъявить вообще к доказательству большей части утверждений, в которых присутствует бесконечность, пусть даже счетная.

[warlock66613]

Sinoid в сообщении #1626586 писал(а):

например, в Курсе высшей алгебры Куроша точно так же "доказывается" существование счетного подмножества у всякого бесконечного множества

Увы, от этого оно ни на йоту не становится корректным.

Sinoid в сообщении #1626586 писал(а):

Впрочем, такие претензии конструктивисты

Конструктивизм тут вообще не при чём, и не надо его лишний раз поминать.

[iifat]

warlock66613 в сообщении #1626585 писал(а):

Это рассуждение доказывает, что у бесконечного множества есть сколь угодно большое конечное подмножество

Вот тут не понял. Каждому натуральному числу сопоставляется очевидным образом некий элемент исследуемого множества, не?

-- 20.01.2024, 23:04 --

Собственно, это примерно и есть математическая индукция, которая, если не путаю, включена в аксиомы натурального ряда.

[warlock66613]

iifat в сообщении #1626593 писал(а):

Собственно, это примерно и есть математическая индукция

Да, и индукция позволяет доказывать утверждения вида $\forall n \in \mathbb N$, где в данном случае $n$ — размер полученного подмножества, то есть как я и сказал: сколь угодно большое конечное множество.

-- 20.01.2024, 20:17 --

iifat в сообщении #1626593 писал(а):

Каждому натуральному числу сопоставляется очевидным образом некий элемент исследуемого множества, не?

Недостаточно просто сопоставить. Нужно чтобы существовала функция сопоставления. А функция — это множество, а чтобы множество существовало недостаточно перечислить элементы множества, нужна причина существования. Например, множество $\{a, b \}$ из двух элементов существует, потому что есть такая аксиома: для любых $a$, $b$ множество $\{a, b\}$ существует. Никакой причины почему должна существовать функция $\mathbb N \to M$ обсуждаемое доказательство не называет.

[tolstopuz]

iifat в сообщении #1626593 писал(а):

Собственно, это примерно и есть математическая индукция

Не совсем. Если надо доказать истинность предиката для всех $n$ - это индукция, а если построить функцию - это уже рекурсия.

По индукции доказывается, что для любого $i\in\mathbb{N}$ существует функция $f_i: \{1,\cdots,i\}\to X$:
$\\ f_1(1)\\ f_2(1), f_2(2)\\ f_3(1), f_3(2), f_3(3)\\ \cdots$
Мы с удовольствием объединили бы графики этих частичных функций и получили единую функцию $f: \mathbb{N}\to X$, но для этого частичные функции должны быть согласованы друг с другом. Если рекурсивное определение однозначно определяет следующее значение на основе предыдущих (как, скажем, определение факториала), это очевидным образом соблюдается. А вот если написано "пусть предыдущие $i-1$ элементов выбраны, выберем какой-нибудь элемент из оставшихся", то без аксиомы выбора не обойтись, она дает нам функцию выбора, которую можно использовать в каждой частичной $f_i$ и получить их согласованными. Можно сказать, что мы будем выбирать не какой-нибудь произвольный, а "самый первый" из оставшихся, чтобы выбор на каждом шаге стал однозначным.

Еще раз подчеркну: для построения каждой $f_i$ аксиома выбора не требуется, она нужна, чтобы построить их согласованными.