2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная непрерывность 2
Сообщение18.01.2024, 20:53 


06/12/23
13
Доказать или опровергнуть равномерную непрерывность функции: $f(x) = \frac{1}{1+x^4},\,M=\mathbb{R}$
После преобразований мы получаем: $|f(x) - f(x)| = \frac{|x^4-y^4|}{(1+x^4)(1+y^4)} \leqslant \frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{(1+x^4)(1+y^4)}$
Насколько понимаю, можно выразить отсюда |x-y| и найти подходящую $\delta(\varepsilon)$, но пока не получается это сделать. Прошу помочь

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность 2
Сообщение18.01.2024, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Оцените в числителе $|x|, |y| \leq \max(|x|, |y|)$. Останется сверху куб, а снизу четвертая степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность 2
Сообщение18.01.2024, 21:47 


06/12/23
13
тогда мы получаем, приняв без ограничения общности, что x > y: $\frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{(1+x^4)(1+y^4)}\leqslant\frac{|x-y||x+y||x^2+y^2|}{x^4(1+y^4)}\leqslant\frac{|x-y|2|x|2|x^2|}{x^4(1+y^4)}=\frac{|x-y|4}{x(1+y^4)}\leqslant\frac{4|x-y|}{x}$, а отсюда уже не получится выразить $\delta$ только через $\varepsilon$, что я упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность 2
Сообщение18.01.2024, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7293
dragonfly132 . Если запутаетесь вконец с вашими оценками, то в принципе доказывать можно и не прямо в лоб по определению. Но сначала добейте ваш подход (по возможности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность 2
Сообщение18.01.2024, 22:33 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
dragonfly132, убрав единицу из знаменателя, вы допускаете ноль в знаменателе, делая всю дробь неограниченной.
Все выкладки не изменятся, если вы замените $1+x^4$ на $\max(1, x^4)$, достигая в итоге цели.
А можно ничего не заменять и останется доказать ограниченность
$f(t)=\frac{4t^3}{1+t^4}$
с чем без труда справитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность 2
Сообщение19.01.2024, 07:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
А Вы знаете теорему Кантора о равномерной непрерывности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group