Хитрое тригонометрическое уравнение.

[oleg_2019]

Неужели такое сложное решение будет??

Условие такое - решите уравнение $ \sin^2(2p) = \cos^2p - \dfrac{\cos(3p)}{2\cos^2p-1}$

Мои идеи преобразований описаны ниже:

$4\sin^2 p \cos^2 p = \cos^2 p - \dfrac{\cos 3p}{\cos 2p}$

$4\sin^2 p \cos^2 p - \cos^2 p = - \dfrac{\cos 3p}{\cos 2p}$

$(1-4\sin^2 p)\cos^2 p = \dfrac{\cos 3p}{\cos 2p}$

$(\cos 2p-(1-\cos 2p))\cos^2 p = \dfrac{\cos 3p}{\cos 2p}$

$(2\cos 2p-1)\cos^2 p = \dfrac{\cos 3p}{\cos 2p}$

$(2\cos 2p-1)(1+\cos 2p) = \dfrac{2\cos 3p}{\cos 2p}$

$(2\cos 2p-1)(1+\cos 2p)\cos 2p-2\cos 3p=0$

$(2\cos 2p-1)(1+\cos 2p)\cos 2p-8\cos^3(p)+6\cos p=0$

$(2\cos 2p-1)\cos 2p \cos^2p-4\cos^3(p)+3\cos p=0$

$\cos p=0$ или $(2\cos 2p-1)\cos 2p \cos p-4\cos^2(p)+3=0$

Первое уравнение - понятно как решается, а вот второе - сложнее.

$(2(2\cos^2p-1)-1)(2\cos^2p-1)\cos p-4\cos^2(p)+3=0$

$(4\cos^2p-3)(2\cos^2p-1)\cos p-4\cos^2(p)+3=0$

$(4\cos^2p-3)((2\cos^2p-1)\cos p-1)=0$

$4\cos^2p-3=0$ или $(2\cos^2p-1)\cos p-1=0$

Первое уравнение - понятно как решается, а второе.

$2\cos^3p-\cos p-1=0$

$\cos^3p-1+\cos^3p-\cos p=0$

Пусть $p=x$

$(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1)+\cos x(\cos ^2x-1)=0$

$(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1)+\cos x(\cos x-1)(\cos x+1)=0$

$(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1+\cos x(\cos x-1))=0$

$(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1+\cos x(\cos x+1))=0$

$(\cos x-1)(2\cos^2x+2\cos x+1)=0$

Первое - понятно как решается, а второе - дискриминант отрицательный, нет корней.

[ShMaxG]

oleg_2019
Все гораздо проще. Введите обозначение $x=\cos{p}$, выразите выражение в терминах $x$ и упростите, получится очень простое уравнение.

[oleg_2019]

ShMaxG в сообщении #1626424 писал(а):

oleg_2019
Все гораздо проще. Введите обозначение $x=\cos{p}$, выразите выражение в терминах $x$ и упростите, получится очень простое уравнение.

Спасибо, но вроде бы уравнение не очень просто получается.

$ \sin^2(2p) = \cos^2p - \dfrac{\cos(3p)}{2\cos^2p-1}$

$4(1-x^2)x^2(2x^2-1) = x^2 - \dfrac{4x^3 - 3x}{2x^2 - 1}$

$4(1-x^2)x^2(2x^2-1) = x^2(2x^2-1) - 4x^3 + 3x=0$

$x(4x^3 - 8x^5 +4x^3 - 4x -2 x^3 + x + 4x^2 - 3) = 0$

$x(-8x^5 + 6x^3 + 4x^2 - 3x - 3) = 0$

[ShMaxG]

oleg_2019
Скобки неправильно раскрываете. Но я рекомендую их не раскрывать. Подумайте, а если никак, подскажу.

[oleg_2019]

ShMaxG в сообщении #1626433 писал(а):

oleg_2019
Скобки неправильно раскрываете.

Спасибо, исправился, получилось. Но тоже пришлось попотеть.
$- x (4 x^2 - 3) (x - 1) (2 x^2 + 2 x + 1)=0$

[ShMaxG]

oleg_2019
Верно! Ну ладно, уравнение там было не самое простое, но вполне решаемое)