Почему пропадает инвариантность в решениях для полей?

[Onoochin]

При решении одной задачи возникла странная проблема. Хотя проблема математическая, но основа - из физики. Поэтому тему хотелось бы открыть тут.
Проблема возникла из попытки применить методы теории относительности к решению трансцендентного уравнения.
Имеются известные формулы для потенциалов ЛЬенара-Вихерта (даны почти во всех учебниках по эл-динамике). Но применить эти формулы в расчетах не удается, т.к. в них координаты и скорость заряда выражены в запаздывающем времени $\tau$, которое должно находиться из ур-ния

$$ c(t- \tau)=\vert \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(\tau)\vert $$

$t,r$ - время и коордиинаты точки наблюдения, ${r}_0(\tau)$ - координата заряда, создающего поля.
Решение этого ур-ния возможно в трех случаях, $r_0=v\tau$, $r_0=\sqrt{k^2+c^2\tau^2}$ - равноускоренное движение, $r_0=a+b\tau^2$ - нерелятивистское ускоренное движение.

Но методы СТО формально позволяют свести трансцендентное (в общем случае) уравнение к дифференциальному, в которое $\tau$ явно не входит.

В Ландау-Лифшице т. 2. § 63 изложен метод, как перейти от выражения для кулонова потенциала $\Phi=q/r$ к потенциалам ЛВ - применив преобразования Лоренца.
Ландау не сам разработал этот метод. Автором является Герглотц. Вариант метода также использовал Зоммерфельд при выводе потенциалов ЛВ.

Итак слева имеем простую формулу $q/cr$, справа $q/[(r - r_0(\tau))\cdot (c-dr_0/dt)]$ - упрощено для движения только по одной оси. Сл-но трансц.ур-ние свелось к дифференциальному. Метод верен, если между потенциалами имеется Лоренцева инвариантность.
Вот тут начинается непонятное.

В знаменитой статье Эйнштейна, ее электродинамической части, приводится доказательство инвариантности уравнений Максвелла при переходе из одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой ИСО. Математически переход означает, что производятся преобразования координат по формулам Лоренца.
Эйнштейн некоторые преобразования уравнений опустил, Но есть работа Пуанкаре "О динамике электрона", где автор повторил Эйнштейна, но с деталями вычислений.
Важно, что оба показали, что уравнения будут иметь одинаковую форму в двух ИСО, но при этом выражения для полей должны быть связаны формулами Лоренца типа вот такой

$$ E_x ' = E_x\,;\,\, E_y'=\frac{E_y-(v/c)H_z}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\,;\,\, E_z'=\frac{E_z+(v/c)H_y}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\quad (1) $$

Штрихованные переменные относятся к одной ИСО, где например, заряд создающий эти поля покоится, нештрихованные - к другой ИСО, где заряд движется со скоростью $v$ - в формулах эта скорость - скорость одной ИСО относительно другой.

Пуанкаре также показал, что волновое уравнение инвариантно при преобразования координат по Лоренцу - поля получаются из решений волновго ур-ния.
Справедливость формулы (1) подтвердил Лоренц еще в 1895 году, когда вычислил поля равномерно движущегося заряда и нашел их симметрию.

Но ни Пуанкаре, ни Эйнштейн решений волнового уравнения не находили и в общем случае инвариантность решений относительно преобразований Лоренца не проверяли. Хотя если уравнения инвариантны, то и их решения должны быть инвариантны.

Я проверил метод на известных решениях. Известные решения - два. Инвариантность первого проверил еще Лоренц. Осталось второе.

Задачу вычисления полей равномерно ускоряемого классического заряда решил Борн в 1908 году. Но его формулы неудобны для использования. Более простые формулы привел Шотт (Scott. Electromagnetic radiation, Oxford, 1912, Сh. 5.3). Его формулы используем для проверки инвариантности, определим поля в двух ИСО, где заряд (мгновенно) покоится и где движется со скоростью v - эта скорость будет скоростью между двумя ИСО. Такой переход к другой ИСО законен - такой переход использовал еще Пуанкаре в его статье 1906-го.

Есть преобразование Лоренца для полей (ф-ла 24.4 ЛЛ-2)

$$ H_{\varphi}(0)=\gamma[H_{\varphi}(v) - (v/c)E_r(v)] $$

тут $H(0)$ и $H(v)$ - магнитные поля (только угловая компонента) когда эл-ни покоится и когда движется со скоростью $v$. $E_r(v)$ - поперечная компонента эл.поля.

Особенность такого движения - когда заряд останавливается, магнитное поле во всем пространстве равно нулю $H(0)=0$. Этот экзотический факт нашел еще Борн, подтвердил Шотт, Паули использовал в одной задаче.

Теперь что справа.
Скорость и фактор Лоренца $\gamma$ для этого двжения:

$$ v(t)=c^2t/\sqrt{k^2+c^2t^2}\quad \gamma= \frac{\sqrt{k^2+c^2t^2}}{k} $$

Поля:

$$ H_{\varphi}(v)=\frac{8k^2 ct r }{s^3}\,\,\, E_r(v)=\frac{8k^2 x r }{s^3} $$

$s=\sqrt{(x^2+r^2-k^2-c^2t^2 )^2+4k^2r^2}$
Подставляем, получаем

$$ 0=\frac{8kct r}{s^3}\left[\xi(t)-x\right] $$

$\xi(t)=\sqrt{k^2+c^2t^2}$ - координата заряда. Получили что слева нуль, справа не нуль. Поля по Лоренцу не преобразуются, т.е. инвариантности нет.

Как такое может быть, что исходное волновое ур-ние обладает определенной симметрией (Лоренцевой инвариантностью), а решение - нет?

[warlock66613]

Onoochin в сообщении #1625471 писал(а):

когда заряд останавливается, магнитное поле во всем пространстве равно нулю $H(0)=0$

Вот это утверждение вызывает у меня сомнение. Если заряд долго излучал в неограниченном пространстве, каким образом магнитное поле может обнулиться? Как будто никаким.

[пианист]

Onoochin в сообщении #1625471 писал(а):

если уравнения инвариантны, то и их решения должны быть инвариантны

Решение диффура, обладающего симметрий, не обязано быть симметричным. Мы можем только утверждать, что образ решения при преобразовании это снова решение.
Ну и, бонусом, если симметрии образуют группу Ли, у диффура (системы учп) есть (среди прочих) и симметричные решения, и для их нахождения приходится решать более простую систему.
Если я правильно понял о чем речь. Если нет, сори.

[warlock66613]

пианист в сообщении #1625481 писал(а):

Решения диффура, обладающего симметрий, не обязано быть симметричным.

Эта правда, но здесь не этот случай. Поля должны быть релятивистски-инвариантны.

[Cos(x-pi/2)]

Признаюсь, я пока ещё "не въехал" в детали вычислений ТС (попробую разобраться, когда найду на это время, если тема к тому времени не рассосётся). Однако осмелюсь сделать пояснение, с извинениями за его тривиальность; вдруг оно как-то поможет:

Слова "релятивистская инвариантность полей" означают вот что.

Пусть в некоторой ИСО задано поле $a_k(x,y,z,t).$ Для примера я написал тут какое-то 4-векторное поле, и выбрал в роли координат мировых точек в пространстве-времени стандартные "декартовские". Дальнейшие мысли (если это можно так назвать) можно будет обобщить и на тензорное поле, и на случаи с другим выбором координат.

Все мировые точки (им можно было бы дать индивидуальные имена, например, $A,B,C,...\,, P,...)$ снабжены в данной ИСО конкретными значениями своих координат: мировая точка $P$ это $P(x,y,z,t),$ и т.д. Полевые переменные являются функциями мировых точек: $a_k(P).$

Описание того же поля в другой ИСО означает, что в каждой мировой точке, ну например, в точке $P$ каждая полевая переменная должна быть вычислена по правилам преобразования Лоренца для данного поля. Обозначим преобразованную полевую переменную прежней буквой, но со штрихом. Запись закона преобразования самих полевых величин: $a'_n=T_{nk}a_k,$ (по повторяющемуся индексу "суммируем" с учётом сигнатуры метрическогго тензора). Или, символически: $a'=\hat{T}a,$ где $\hat{T}$ - матрица преобразоания полевых величин.

Тогда "инвариантность поля", о которой идёт речь, означает, что в мировой точке $P$ поле, найденное в новой ИСО, это величина со штрихом:

$a'(P)=\hat{T}a(P).$

Так вот, тривиальный по смыслу, но важный для расчётов аспект, который хочется подчеркнуть: здесь в левой стороне равенства символический аргумент $P$ это функция от преобразованных преобразованием Лоренца координат мировой точки, т.е. это $P(x',y',z',t'),$ где, в символическом виде, $x'_k=L_{kn}x_n,$ и $\hat{L}$ есть матрица преобразования координатных пременных. А в правой стороне $P$ есть функция не преобразованных координат той же мировой точки: $P(x,y,z,t).$

Т.е. для проверки "инвариантности поля" (описывают ли $a'$ и $a$ одну и ту же полевую картину в пространстве-времени по отношению к двум ИСО ) сравнивать нужно не просто формулы $a'_k(x,y,z,t)$ с $a_k(x,y,z,t).$ А нужно сравнивать $a'_k(x',y',z',t')$ с $a_k(x,y,z,t),$ где штрихованные и нештрихованные координаты это координаты одной и той же мировой точки, связанные друг с другом преобразованием Лоренца.

Если же мы пожелаем рассматривать штрихованное поле как функцию исходных (нештрихованных) координат, то в игру вступает обратное преобразование координатных переменных. Действительно, обозначим набор $x',y',z',t',$ полученный из $x,y,z,t$ операцией $\hat{L},$ например, как $Y.$ Тогда $x,y,z,t$ есть $\hat{L}^{-1}Y,$ т.е. $a'(Y)=\hat{T}a(\hat{L}^{-1}Y),$ или в обычных матричных обозначениях:

$a'_k(x_s)=T_{kn}a_n((\hat{L}^{-1})_{sr}x_r).$


Наглядно говоря: все координаты и полевые величины можно, в принципе, смоделировать численными расчётами на густых сетках значений; и тогда числа $a',$ относящиеся к точке с координатами $x',y',z',t',$ полученными преобразованием Лоренца из $x,y,z,t,$ должны совпасть с $\hat{T}a,$ где числа $a$ относятся к точке $x,y,z,t.$

Противное означало бы отсутствие лоренц-инвариантности, чего просто не может быть, если мы задали закон лоренц-преобразования $\hat{T}$ для полевых величин и $\hat{L}$ для координат мировых точек. Если выкладки не числовые, а формульные, и они вдруг не согласуются с такой числовой интерпретацией, то значит в выкладках где-то есть ошибка: полевые величины или координаты мировых точек (или и то и другое) неправильно написаны или преобразованы.

Тут даже не важно, является ли полевая конфигурация решением инвариантных уравнений, или она сочинена "от балды". (Ведь всё это отчасти аналогично обычной геометрии с векторами на листке бумаги: мы можем нарисовать произвольную картинку векторов $\vec{a}(\vec{r})$ в нескольких точках $\vec{r},$ и повернуть её перед своими глазами (подействовать оператором поворота $\hat{R}$); получится повёрнутая картина точек $\vec{r}\,^{'}=\hat{R}\vec{r}$ с повёрнутыми векторами $\vec{a}\,^{'}=\hat{R}\vec{a}$ в этих точках.) Если же полевая конфигурация выбрана в виде решения инвариантного уравнения, то и преобразованная автоматически будет решением (противное означало бы неинвариантность уравнения).

Ну вот, теперь остаётся не полениться и внимательно проверить: всё ли должным образом преобразовал ТС, или где-то что-то упустил из виду. (Ещё раз приношу извинения за многословный рассказ "Капитана Очевидность".)

[Onoochin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625501 писал(а):

Т.е. для проверки "инвариантности поля" (описывают ли $a'$ и $a$ одну и ту же полевую картину в пространстве-времени по отношению к двум ИСО ) сравнивать нужно не просто формулы $a'_k(x,y,z,t)$ с $a_k(x,y,z,t).$ А нужно сравнивать $a'_k(x',y',z',t')$ с $a_k(x,y,z,t),$ где штрихованные и нештрихованные координаты это координаты одной и той же мировой точки, связанные друг с другом преобразованием Лоренца.

Так преобразования Лоренца как раз связывают координаты какой-то точки (в 4-х мерном пр-ве) в одной ИСО с координатами этой же точки, но в другой ИСО. Соответственно, поля в этой же точке связываются с полями в той же точке. Это и из работы 1905 года следует - все ур-ния Максвелла записываются для какой-то одной точки -- электродинамика Максвелла локальна. Далее в этой точке уравнения преобразуются, точнее частные производные.

Да, я проверял метод используя известные (проверенные) выражения для полей. Формулами Шотта многие пользуются, кто что-то вычисляет для полей равноускоряемого заряда. Фактически я просто подставил в формулу Эйнштейна (или Пуанкаре - у него такие же формулы) для связи ЭМ полей в двух ИСО.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

Всё нормально с "инвариантностью полей", она не пропадает. Ниже более подробно рассматриваю Ваш пример преобразования.

В ЛЛ-2 я не увидел формул для лоренц-преобразования полей в цилиндрических координатах, которыми Вы пользуетесь, поэтому с Вашего позволения перепишу формулы из Вашего сообщения с помощью декартовских обозначений. Для краткости записей пусть $c=1.$ Заряд частицы тоже выбран равным единице.

Итак, пусть, как и в Ваших формулах, ось $x$ параллельна прямолинейной траектории равноускоренно движущейся частицы.

Траектория есть $x(t)=\sqrt{k^2+t^2},$ это так называемое "гиперболическое движение", его свойства хорошо известны из литературы. В данной ИСО (назовём её нештрихованной) в момент времени $t=0$ частица находится в точке $x=k>0,\, y=0,\, z=0,$ и при этом имеет скорость равную нулю. При $t\neq 0$ скорость частицы в этой ИСО не равна нулю.

Поля рассмотрим в почти произвольно взятой мировой точке $P(x,\,y,\, z=0, \,t),$ не лежащей на мировой линии частицы. Значение $z=0$ взято мной лишь для наглядности на чертеже, это почти не снижает общность рассмотрения; можем задавать $x>0,$ $y>0,$ $t>0$ и рисовать трёхмерный чертёж с декартовыми осями и векторами поля, а также пространственно-временную диаграмму в плоскости $x,t,$ (поленюсь здесь это воспроизводить). Из чертежа вижу, что в мировой точке $P$ поле $H_{\varphi}$ это $H_z,$ поле $E_r$ это $E_y,$ координата $r$ это $y,$ так что:

$$s=\sqrt{(x^2+y^2-k^2-t^2 )^2+4k^2y^2},$$

$$H_z=\frac{8k^2ty}{s^3}, \qquad E_y=\frac{8k^2xy}{s^3}\,. \qquad (1)$$

(Имеется ещё и не равная нулю компонента $E_x,$ но поскольку Вы в своём примере преобразований её не рассматривали, то я тоже её пока не рассматриваю. Остальные компоненты электромагнитного поля равны нулю.)

Как Вы и говорили, из этих формул поля видно, что при $t=0$ (т.е. когда скорость частицы равна нулю) магнитное поле обращается в ноль. При этом в выражении для $s$ обращается в ноль имеющийся там вклад от $t^2.$


Мировая линия "гиперболического движения" инвариантна к лоренц-преобразованию в штрихованную ИСО, которая движется относительно исходной (нештрихованной) со скоростью $v$ вдоль оси $x.$ Траектория частицы в штрихованной ИСО описывается прежней формулой, но только со штрихами: $x'(t)=\sqrt{k^2+t'^2}.$ Значит, в штрихованной ИСО скорость частицы обращается в ноль при $t'=0.$


Рассмотрим преобразование полей к такой штрихованной ИСО, в которой мировая точка $P,$ имевшая в нештрихованной ИСО отличную от нуля временную координату $t>0,$ имеет равную нулю временную координату $t'=0.$ Другими словами, это означает, что от рассмотрения в нештрихованной ИСО, в которой в мировой точке $P$ c $t>0$ частица имела ненулевую скорость $v,$ мы переходим к рассмотрению в штрихованную ИСО, в которой в той же мировой точке временная координата $t'=0$ и скорость частицы равна нулю.

Соответствующее обратное преобразование координат, выражающее нештрихованные координаты через штрихованные координаты одной и той же мировой точки с учётом $t'=0$ есть (см. ЛЛ-2 §4)

$$t=\gamma (t'+vx')=\gamma vx',\qquad x=\gamma(x'+vt')=\gamma x'\,, \qquad (2)$$

$$y=y', \qquad z=z',$$

где $\gamma =(1-v^2)^{-1/2}.$

Лоренц-преобразование полевых величин есть (см. ЛЛ-2 §24, мы выражаем штрихованные поля через нештрихованные, поэтому $v$ входит с минусом, и затем учитываем формулы поля (1))

$$H'_z=\gamma (H_z-vE_y)=\gamma \frac{8k^2y(t-vx)}{s^3},$$

$$E'_y=\gamma (E_y -vH_z)=\gamma \frac{8k^2y(x-vt)}{s^3}.$$

Это искомые полевые величины в мировой точке $P(x,y,z=0,t>0)\, =\, P(x',y',z'=0,t'=0)$ в штрихованной ИСО, но это ещё не окончательный ответ, потому что они пока ещё выражены через нештрихованные координаты. Подставим равенства (2), выражающие нештрихованные координаты через штрихованные.

Видим, что $H'_z$ содержит в числителе разность, которая с учётом (2) обращается в ноль: $t-vx=\gamma vx'-\gamma vx'=0.$ Таким образом, в штрихованной ИСО в момент времени $t'=0,$ когда скорость частицы равна нулю, равно нулю и магнитное поле:

$$H'_z=0.$$

Точно такая же картина имела место и в нештрихованной ИСО: магнитное поле обращалось в ноль при $t=0.$


Числитель в $E'_y$ содержит, с учётом (2), выражение $x-vt=\gamma x'(1-v^2)=x'/\gamma.$ В знаменателе в $s$ имеем с учётом (2):

$(\gamma^2x'^2+y'^2-k^2-\gamma^2v^2x'^2)^2+4k^2y'^2=(x'^2+y'^2-k^2)^2+4k^2y'^2\,=\,s'$

В результате, в штрихованной ИСО в мировой точке $P$ с $t'=0$ с учётом (2) получается для $E'_y$ ответ

$$E'_y=\frac{8k^2x'y'}{s'^3},$$

полностью аналогичный формуле для $E_y$ в нештрихованной ИСО при $t=0.$ Таким образом, имеется та самая "инвариантность полей", которая и должна соблюдаться согласно общим соображениям о лоренц-преобразовании полевых величин и координат мировых точек.

[Onoochin]

Onoochin в сообщении #1625510 писал(а):

Onoochin

Всё нормально с "инвариантностью полей", она не пропадает. Ниже более подробно рассматриваю Ваш пример преобразования.

Я с Вами не полностью согласен.
У Вас магнитное поле в штрихованной системе (ИСО') получается равным нулю из-за условия $t- vx/c^2=0$, то есть в начале Вашей процедуры на координаты в нештрихованной системе (ИСО) накладываются определенные условия.
Соостветственно, на координату $x'$ также накладываются определенные условия - она не любая, а
$$ x' = \gamma(c^2-v^2)t$ - но по определению она должна быть любой - мы имеем право вычислять поле во всем пространстве.

[Cos(x-pi/2)]

Сначала исправлю свои опечатки (прошу извинения, у меня всегда в формулах на форуме с большой вероятностью есть опечатки; слепота - сужение поля зрения, а печатать и проверять тороплюсь, чтобы успеть за час). Здесь опечатки не влияют на итог:

Пропустил штрих в аргументе у $x'(t'),$ надо так: $x'(t')=\sqrt{k^2+t'^2}.$

Выражение $(\gamma^2x'^2+y'^2-k^2-\gamma^2v^2x'^2)^2+4k^2y'^2=(x'^2+y'^2-k^2)^2+4k^2y'^2,$ которое я в такой строчке обозначил (неправильно) как $s',$ есть на самом-то деле $s'^2,$ (потому что $s$ и соответственно $s'$ это корни квадратные из такого типа выражений).



Onoochin

У меня в штрихованной ИСО магнитное поле получилось равным нулю из-за условия $t'=0.$ Именно для момента времени $t'=0$ в штрихованной ИСО я вычислил преобразованием Лоренца полевые величины $H'_z$ и $E'_y$ как функции независимых переменных $x'$ и $y'.$

(Координату $z=z'=0$ я выбрал равной нулю для того, чтобы в точках наблюдения поля каждая из полевых компонент $H_{\varphi}$ и $E_r$ выражалась бы только через одну декартову проекцию в плоскости, перпендикулярной к оси $x,$ а не через две (ну просто чтобы выкладки были бы попроще, чтобы поменьше компонент поля пришлось бы вычислять). В точках с $z=z'=0$ имеем $H_{\varphi}=H_z$ и $E_r=E_y$ и аналогично для штрихованных компонент. Предлагаю это упрощение пока вообще не обсуждать, оно, на мой взгляд, не принципиальное.)

Почему я беру условие $t'=0?$

Да только потому, что ведь и Вы попытались получить преобразованием Лоренца поле не в произвольный момент времени, а в такой момент времени, когда скорость частицы становится равной нулю, т.е. Вы попытались получить поле (в Ваших обозначениях) $H_{\varphi}(0).$ Потому что это самый простой выбор для проверки: известно заранее, что если в данной задаче поле является решением (т.е. даётся формулами Шотта), то в момент времени равный нулю магнитное поле должно обратиться в ноль.

В каждой ИСО этому равному нулю моменту времени соответствует своя ортогональная к временной оси пространственная гиперплоскость, на которой магнитное поле обращается в ноль (можно, если это потребуется для большей ясности, пространственно-временную диаграмку нарисовать - эти гиперплоскости будут видны как координатные оси $x'$ разных штрихованных ИСО, различающихся выбором скорости $v$ относительно исходной нештрихованной ИСО.)

Преобразованием Лоренца Вы это обращение магнитного поля в ноль в штрихованной ИСО не получили. Потому что, предполагаю, Вы не довели до конца преобразование - не выразили поле через координаты в штрихованной ИСО. (Так предполагаю; детально я Вашу правую сторону вычислений не понял из-за неясности обозначений - у Вас в ответе появилась какая-то $\xi(t),$ непонятно к какой ИСО относящаяся.)

А я преобразовал к штрихованной ИСО не только полевые величины, но и оказавшиеся в их формулах координатные переменные $x,y,t,$ которые являются координатами мировых точек $P$ в гиперплоскости $t'=0.$ Тем самым я вычислил преобразованием Лоренца штрихованное электромагнитное поле именно в этой гиперплоскости.

Поскольку значение $t'=0$ соответствует равной нулю скорости частицы в штрихованной ИСО, то Шоттовское штрихованное магнитное поле должно быть при этом равно нулю. Вот именно это у меня как раз и получилось (т.е. вышло то, что Вы хотели бы получить в силу "инвариантности решений", но не получили): $H'_z=0$ при $t'=0.$ И, кроме того, у меня преобразованием Лоренца прекрасно получилась Шоттовская же формула для $E'_y.$

В обоих этих результатах, т.е. в формулах $H'_z=0$ и $E'_y=\frac{8k^2x'y'}{s'^3}$ при $t'=0,$ координаты $x'$ и $y'$ это независимые переменные в штрихованной ИСО - никаких условий на них не наложено (ну кроме тривиального: точка наблюдения поля $x',y',z'=0$ не должна попасть на частицу, а иначе $s'$ обратится в ноль и поле там окажется бесконечно большим).


Общий случай преобразования Лоренца, без условия $t'=0$ (т.е. преобразование Лоренца в произвольно выбранную ИСО для произвольной взятой мировой точки), постараюсь позже тоже рассмотреть; это будет более громоздкое занятие, напишу результат, когда (и если) получится.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

Зря я испугался насчёт "это будет более громоздкое занятие" :) Тут вообще всё элементарно. Догадываюсь, что Вы это тоже уже заметили.

Раньше я уже выписал формулы полей в штрихованной ИСО, получающиеся до наложения условия $ t'=0. $ Пока условие $t'=0$ не наложено, это формулы поля в произвольной мировой точке (правда, c $z=z'=0$) после лоренц-преобразования с произвольной скоростью $v$ вдоль $x$-оси:

$$H'_z=\gamma (H_z-vE_y)=\gamma \frac{8k^2y(t-vx)}{s^3},$$

$$E'_y=\gamma (E_y -vH_z)=\gamma \frac{8k^2y(x-vt)}{s^3}.$$

Осталось заметить, что в этих формулах как раз

$$\gamma (t-vx)=t',\qquad \gamma(x-vt)=x'.$$

И, кроме того, поскольку в выражение для $s$ переменные $x$ и $t$ входят лишь в виде инвариантной комбинации $x^2-t^2=x'^2-t'^2,$ то $s$ есть инвариантная величина; при $z=z'=0$ это есть:

$$s=s'=\sqrt{(x'^2+y'^2-k^2-t'^2 )^2+4k^2y'^2}\,,$$

а при не равных нулю $z=z'$ лишь добавится вклад от $z'^2$ и получится опять-таки инвариантная величина $s=s'.$ Таким образом, лоренц-преобразованные поля Шоттковского решения имеют и в штрихованной ИСО с штрихованными координатами вид Шоттковского решения, как и должно быть по соображениям "лоренц-инвариантности полей":

$$H'_z=\frac{8k^2t'y'}{s'^3}, \qquad E'_y=\frac{8k^2x'y'}{s'^3}\,.$$

Понятно, что аналогичный результат будет справедлив и для решений Шотта в их первоначальной записи - с обозначениями, соответствующими цилиндрическим координатам. Так что, ответ на вопрос из названия этой темы полностью ясен (во всяком случае мне): инвариантность в решениях для полей никуда не пропала.

[Onoochin]

Одно важно замечание.
Соотношение

$$ H_{\varphi}'(0)=\gamma[H_{\varphi}(v) - (v/c)E_r(v)]\,;\quad (1) $$

соответствует связи между полями в ИСО' и ИСО - где заряд движется. И $H_{\varphi}'(0)$ - это не поле при $t' = 0$, а поле при равной нулю скорости заряда $v=0$.
По идеологии Пуанкаре (он придумал принцип относительности) если какая-то величина равна нулю в одной системе, то и в другой системе (независимо от координат) ею соответсвующая величина (разность полей) должна быть равна нулю - иначе мы как бы на опыте обнаружим разность в системах отсчета. Поэтому формально даже не требуется в правой части переходить к новым коордиинатам. Если слева нуль, то справа также должен быть нуль.

Это можно проверить, повторяя процедуру проверки инвариантностии на потенциалах равномерно движущегося заряда. У Лоренца как-то всё сложно, но у Фейнмана всё упрощено.
Имеем выражение для потенциала кулонова поля (заряд неподвижен)

$$ \Phi=\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$

У нас должно получиться в итоге, что перейдя к ИСО' мы получим ($c\equiv 1$)

$$ \Phi' = \gamma\left[\Phi - vA_x \right] $$

$A_x=0$ в ИСО, поэтому преобразуем только $\Phi'=\gamma \Phi$, или делая замену координат

$$ x= \frac{x'-vt'}{\sqrt{1-v^2}}\,\,\to\,\, \Phi'(x',t',y,z)= \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\dfrac{q}{\sqrt{\dfrac{(x'-vt')^2} {1-v^2}+y^2+z^2}}=\frac{q}{\sqrt{(x'-vt')^2+(1-v^2)(y^2+z^2)}} $$

Получили потенциал ЛВ равномерно движущегося заряда, выраженного в текущих координатах.

Эту процедуру повторим для формулы (1). Только будем делать следующие преобразования

$$ x=\gamma(t')\left(x'+Vt'\right)=\gamma(t')\left(x'+\frac{t'^2}{\sqrt{k^2+t'^2}}\right)\,;\,\, t= \gamma(t')\left(x'+\frac{t'\cdot x'}{\sqrt{k^2+t'^2}}\right) $$

$\gamma(t')=\sqrt{k^2+t'^2}/t'$
Пояснения:
1. В формуле (1) скорость - скорость в первоначальной ИСО (как у Эйнштейна)- если взять скорость в ИСО' , то одно магнитное поле будет равно другому.
2. Но в преобразованиях координат скорость уже другая (v и V пропорциональны но не равны), потому что нам нужна скорость в той системе, где определены координаты $x',\,t'$.

С помощью Mathematica легко получить красивую формулу

$$ H_{\varphi}' = \frac{Cr t'(\xi(t')+x')^2(\xi(t')-x')}{k s^{3/2}}\,;\quad C = \operatorname{const} $$

В этой формуле $\xi(t') = \sqrt{k^2+t'^2}$ - координата движущегося заряда (обозначение Шотта).
При $t' = 0$ магнитное поле в новой системе отсчёта равно нулю всюду (как и положено быть). Но возникает проблема с потерей формы этого выражения - появляется в числителе множитель $(\xi(t')-x')$, наличие которого означает, что новое магнитное поле будет равно нулю в плоскости заряда.
Таким образом, полученное в результате преобразований поле не совпадает с полем, получаемым из решения волнового уравнения (по Шотту).

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin, лучше не сваливать в кучу всех и всё (Пуанкаре, Фейнмана, Лоренца, Шотта, кулоновский потенциал и поле равноускоренного заряда), а то создаётся впечатление, что Вы не разобраться в своём вопросе хотите, а наоброт стремитесь посильнее запутаться.

Вопрос-то элементарный. Нам даны формулы поля в какой-то исходной ИСО, поле в этих формулах выражено через координаты $x,y,z,t$ разумеется в этой же ИСО. Требуется найти формулы этого поля в штрихованной ИСО', которая движется относительно исходной с заданной скоростью $v$ вдоль оси $x.$ Обе ИСО равноправны, поэтому поле в штрихованной ИСО' мы должны найти как функции координат $x',y',z', t'$ именно в штрихованной ИСО'.

Никакого метания между разными задачами и разными авторами нам здесь не нужно. Идеология тут простая. Преобразуем по формулам преобразования поля из ЛЛ-2 полевые величины; получаем штрихованные поля, но пока ещё как функции нештрихованных координат. Выражаем в них по формулам преобразования координат из ЛЛ-2 нештрихованные координаты через штрихованные. И всё - задача перехода к описанию заданного поля из нештрихованной ИСО в штрихованной ИСО' решена.

Конкретно в Вашем сюжете мы имеем вот что. Вы в исходной ИСО задали поле в виде формул Шотта; они описывают некоторое решение уравнений Максвелла. Выполнив указанным элементарным путём переход к описанию этого поля в штрихованной ИСО', я убедился, что штрихованное поле опять описывается формулами Шотта, т.е. оно в штрихованной ИСО является решением уравнений Максвелла, с штрихованными координатами разумеется. Ничего другого и не должно было выйти; искомая инвариантность прекрасно подтвердилась.

Если хотите путаться, то я в путанице участвовать не буду.

Если же хотите разобраться в том, что сами тут пишете, то не надо валить в кучу-малу всё подряд, смешивать свои обозначения с Шоттовскими. Для начала ответьте, пожалуйста, на вопрос: вот в этой фразе

Onoochin в сообщении #1625677 писал(а):

Соотношение

$$ H_{\varphi}'(0)=\gamma[H_{\varphi}(v) - (v/c)E_r(v)]\,;\quad (1) $$

соответствует связи между полями в ИСО' и ИСО - где заряд движется. И $H_{\varphi}'(0)$ - это не поле при $t' = 0$, а поле при равной нулю скорости заряда $v=0$

скорость заряда $v=0$ в какой ИСО, штрихованной ИСО' или нештрихованной ИСО?


Мой ответ: в штрихованной, т.е. в ИСО'. Вот Вами же приведённая формулу для скорости заряда в исходной ИСО

$$ v(t)=c^2t/\sqrt{k^2+c^2t^2}.$$

"Гиперболическое движение" заряда примечательно тем, что оно во всех ИСО описывается одинаковыми формулами, только штрих у переменных добавляем в штрихованной ИСО':

$$ v'(t')=\frac{dx'(t')}{dt'}=c^2t'/\sqrt{k^2+c^2t'^2}.$$

Видно, что в штрихованной ИСО' скорость заряда обращается в ноль именно при $t'=0.$ Поэтому Ваше $H_{\varphi}'(0)$ это поле именно при $t'=0.$ Со всеми вытекающими из этого факта дальнейшими выкладками, которые я уже привёл в сообщениях выше, где речь шла о поле на гиперплоскости $t'=0.$

[Onoochin]

Onoochin в сообщении #1625677 писал(а):

Если же хотите разобраться в том, что сами тут пишете, то не надо валить в кучу-малу всё подряд, смешивать свои обозначения с Шоттовскими. Для начала ответьте, пожалуйста, на вопрос: вот в этой фразе...

Поясняю
Формула

$$ H_{\varphi}'(0)=\gamma[H_{\varphi}(v) - (v/c)E_r(v)]\,;\quad (1) $$

взята из статьй Эйнштейна поскольку вначале я вставил пост в тему "Есть ли опечатки в работе "К электродинамике движущихся тел". Я на нее просто сослался.
Скорость $v$ - скорость между системами отсчета, штрихованной и нештрихованной.
В статье 1905 года действительно $ H_{\varphi}'(0)$ - магнитное поле в ИСО, где заряд покоится. Но формула должна быть верна для перехода в любую ИСО, где у заряда будет и ненулевая скорость.

Согласно идеологии этой статьи и статьи Пуанкаре, если какая-то величина равна нулю в одной системе, то и в другой системе (независимо от координат) ею соответсвующая величина (разность полей) должна быть равна нулю - иначе мы как бы на опыте обнаружим разность в системах отсчета. Поэтому формально даже не требуется в правой части переходить к новым коордиинатам. Если слева нуль, то справа также должен быть нуль.
Это не я придумал, это по Пуанкаре (его работа 1900 года) такой вот принцип. Он его уточнил в 1904 году
Poincar\'e, "L'etat actuel et l'avenir de la physique mathematique," Congress of Arts and Sciences, St. Louis, Sept. 24,1904; first published in full in La Revue des Idees, 80, Nov. 15, 1904.
Поэтому согласно этому принципу если соотношение не выполняется, то что-то не так или с вычислениями, или что-то с самим принципом.
Вообще-то Пуанкаре придумал его для того, чтобы обеспечить сохранение принципа действия-противодействия. Но потом обнаружилось, что в классической электродинамике этот принцип нарушается - его заменили на закон сохранения полного момента. В русскоязычных учебниках этого нет, но например у Гриффитса это хорошо описано.

Теперь про вычисления инвариантности. Очевидно, что в одной ИСО если заряд равномерно ускоряется, то он должен также равномерно ускоряться в другой ИСО. Случай остановки заряда - когда магнитное поле вдруг пропадает во всем пространстве при ускоряемом заряде, то есть при таком движении, что заряд всегда должен излучать и магнитное поле должно быть всегда ненулевое - очень экзотический. Про этот случай написано несколько статей, включая статью Гинзбурга в УФН в 1970 году.
Но если брать переход от одной ИСО к другой (уже третьей) ИСО - для самого общего случая при некоторой скорости, не равной мгновенной скорости заряда, то при стандартном преобразовании координат

$$x'=\gamma(x- Vt)\,;\,\,t'=\gamma(t-Vx)$$

формула

$$ H_{\varphi}'=\gamma[H_{\varphi} - (v/c)E_r]\,;\quad (2) $$

даст магнитное поле вида

$$ H_{\varphi}=\frac{1}{1-V^2}\frac{8k^2r[t'(1 + v V) + (-v + V) x']}{s^{3/2}} $$

Эта форма магнитного поля не соответствует той форме, которая получается из потенциалов ЛВ хотя бы потому, что имеем множитель, обращающийся в нуль при некотором соотношении новых координат. Поэтому поле в новой ИСО не может быть вычислено по формулам Лоренца.

Почему взята третья ИСО - можно перейти и в штриховую систему, но не считать, что в ней время обязательно нулевое - или что в штрихованной системе есть какая-то скорость заряда. Получаются формулы, которые приведены ранее.

[Geen]

Onoochin в сообщении #1625835 писал(а):

Но формула должна быть верна для перехода в любую ИСО

Нет. Если у вектора проекция на какую-нибудь координатную ось равна нулю, то это не значит, что после поворота системы координат она обязана остаться нулевой.

[Cos(x-pi/2)]

Onoochin

В формулы преобразования Лоренца для координат и для полевых величин входит одна и та же скорость: это скорость одной системы отсчёта относительно другой. Вы можете обозначить эту скорость маленькой буквой $v$ или большой буквой $V,$ как Вам больше нравится. Но писать для преобразования поля скорость $v$ не ту же самую, что скорость $V$ для координат, как Вы сделали в последнем своём сообщении в формуле $(2),$ это грубая ошибка.

Про старинные работы Пуанкаре и Эйнштейна нам здесь рассказывать не надо - мы ведь в этой теме разбираем не историю физики, а современные представления, уже проверенные практикой и чётко сформулированные в учебниках.

Посмотрите в ЛЛ-2, Вы ведь знаете этот учебник, Вы же сами на него ссылались. Там в формулы преобразования координат (4.3) и преобразования полей (24.2), (24,3) входит одна и та же скорость $V.$ Это и без ссылок на ЛЛ-2 понятно, просто по смыслу.

Поэтому Ваша запись перехода от нештрихованной ИСО к штрихованной ИСО' (для общего случая при некоторой скорости $V$ штрихованной системы вдоль $x$-оси, в общем случае не равной скорости заряда) должна быть скорректирована в Вашей формуле $(2)$ вот так:

$$x'=\gamma (x- Vt)\,,\qquad t'=\gamma (t-Vx)$$

$$ H_{\varphi}'=\gamma[H_{\varphi} - VE_r]\,.\quad (2) $$

А теперь подставляем в правую сторону $(2)$ приведённые Вами же в первом сообщении формулы полей Шотта, относящиеся к исходной, нештрихованной ИСО; вот эти формулы (c равной единице скоростью света, $c=1,$ для удобства):

$$H_{\varphi}=\frac{8k^2tr}{s^3},\qquad E_r=\frac{8k^2xr }{s^3}\,.$$

Получается, как видим:

$$H_{\varphi}'\,= \,\frac{8k^2r}{s^3}\,\gamma (t-Vx)\,=\,\frac{8k^2r't'}{s'^3}\,.$$

Здесь в конце я учёл, что поперечная к $x$-оси координата остаётся неизменной при лоренц-преобразовании вдоль $x$-оси, т.е. $r=r',$ и что $s$ это тоже инвариант:

$$s=\sqrt{(x^2+r^2-t^2-k^2)^2+4k^2r^2}=\sqrt{(x'^2+r'^2-t'^2-k^2)^2+4k^2r'^2}=s'\,.$$

Аналогично вычисляется лоренц-преобразование и для электрическое поля. Вы о нём не пишете, а я не поленился посмотреть, что получается; вот вывод для поперечной компоненты электрического поля:

$$E_r'= \gamma[E_r - VH_{\varphi}]\,=\,\frac{8k^2r}{s^3}\gamma (x-Vt)\,=\,\frac{8k^2r'x'}{s'^3}\,.$$

Таким образом, видно, что лоренц-преобразованные поля Шоттовского решения имеют и в штрихованной ИСО' с штрихованными координатами вид именно Шоттовского решения:

$$H'_{\varphi}=\frac{8k^2r't'}{s'^3}, \qquad E'_y=\frac{8k^2r'x'}{s'^3}\,.$$

Так и должно быть по соображениям "лоренц-инвариантности полей".

В данном примере формулы полей полностью сохранили свою форму при лоренц-преобразовании вдоль $x$-оси потому, что в данном примере движение заряда-источника полей, т.е. "гипереболическое движение" вдоль $x$-оси по закону $x_{\text{ заряда}}(t)=\sqrt{k^2+t^2},$ сохраняет свой вид: $x'_{\text{ заряда}}(t')=\sqrt{k^2+t'^2}.$


Можно рассмотреть и другие примеры того, что лоренц-преобразование полей по указанному выше плану действий даёт правильный результат.

Например, в ЛЛ-2 выписано уже готовое решение для поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, создаваемого произвольно движущимся зарядом: формулы (63.8) и (63.9). Легко в качестве упражнения разобрать по этим формулам частный случай - поле равномерно движущегося единичного заряда, с траекторией $x_{\text{ заряда}}=vt,$ $y_{\text{ заряда}}=z_{\text{ заряда}}=0$ в исходной ИСО. В этой ИСО движущийся заряд создаёт электромагнитное поле с обеими ненулевыми, притом зависящими от времени, напряжённостями $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ и $\mathbf{H}(\mathbf{r},t).$ Будем с помощью преобразований Лоренца искать поле этого заряда в ИСО', движущейся вдоль $x$-оси относительно исходной ИСО с той же скоростью $v,$ что и заряд. Понятно, что в этой штрихованной ИСО' заряд постоянно покоится в начале координат. Поэтому заранее ясно, что в этой штрихованной ИСО' во всех точках пространcтва $\mathbf{r}'$ во все моменты времени $t'$ магнитное поле должно получиться равным нулю: $\mathbf{H}'=0.$ А электрическое поле должно быть кулоновским, не зависящим от времени: $\mathbf{E}'=\mathbf{r}'/r'^3.$ Оказывается, именно такую картину и дают вычисления лоренц-преобразованных величин, аналогичные приведёным мной выше в примере с шоттовским полем.


Если не делать ошибок в вычислениях (и в интерпретации получающихся ответов), то лоренц-преобразования во всех примерах такого рода будут давать правильный результат - никакой "пропажи инвариантности" нет.

(Можно сказать, что проверка этого факта в каждом частном примере - мартышкин труд; потому что заранее ясно, что всё должно получаться в соответствии с инвариантностью уравнений теории, если не портачить в расчётах. Ситуация тут примерно такая же, как с проверкой закона сохранения энергии замкнутой системы - его можно не проверять в каждом частном расчёте: закон сохранения заведомо не нарушается, если в расчётах не ошибаться (хотя фрики и "альтернативщики" пытаются иногда это отрицать :) Поэтому в задачах мы не проверяем, а применяем законы сохранения - для упрощения вычислений. Аналогично и преобразования систем отсчёта, обоснованные в общем виде в теории, в частных задачах применяют с пользой - удачным выбором системы отсчёта упрощается поиск решений.)