Предел для экспоненты

[juna]

Докажите, что

$$e= \lim_{m\rightarrow \infty}\frac{H_m}{\sum_{n=1}^m\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{n-k}}{k(n-k)!}},$$

где $H_m=\sum_{n=1}^m\frac{1}{n}$ - $m$-е гармоническое число.

[Padawan]

Поменяем порядок суммирования в знаменателе, получим сумму

$$ S_m=\sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{n=k}^m\frac{(-1)^{n-k}}{k(n-k)!}=\sum\limits_{k=1}^m\frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{m-k}\frac{(-1)^i}{i!}=\frac11\sum\limits_{i=0}^{m-1}\frac{(-1)^i}{i!}+\frac12\sum\limits_{i=0}^{m-2}\frac{(-1)^i}{i!}+\ldots+\frac1m\frac{1}{0!} $$

Так как $\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!}=e^{-1}-\frac{(-1)^k}{k!}\theta_k$, где $0<\theta_k<1$ (оценка остатка ряда лейбницевского типа), то разность $S_m-e^{-1}H_m$ оценивается как

$$ |S_m-e^{-1}H_m|\leqslant \frac{1}{1}\frac{1}{m!}+\frac12\frac1{(m-1)!}+\frac1m\frac1{1!} $$

Нетрудно проверит, что сумма справа стремится к нулю при $m\to\infty$. Значит, $S_m=e^{-1}H_m+o(1)$ при $m\to\infty$. Тогда тем более $S_m\sim e^{-1}H_m$, $m\to\infty$.

[thething]

Применение теоремы Штольца приводит к пределу

$$\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{(m+1)\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{m+1}\dfrac{(-1)^{m+1-k}}{k(m+1-k)!}}=\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{(m+1)\displaystyle\sum\limits_{l=0}^{m}\dfrac{(-1)^{l}}{l!(m+1-l)}}=\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{\displaystyle\sum\limits_{l=0}^{m}\dfrac{(-1)^{l}}{l!}}=e.$$

Предпоследнее равенство верно, ввиду

$$\left|(m+1)\displaystyle\sum\limits_{l=0}^{m}\dfrac{(-1)^{l}}{l!(m+1-l)}-\displaystyle\sum\limits_{l=0}^{m}\dfrac{(-1)^{l}}{l!}\right|\le\sum\limits_{l=1}^{m}\dfrac{1}{(l-1)!(m+1-l)}=\sum\limits_{l=1}^{[m/2]}\dfrac{1}{(l-1)!(m+1-l)}+$$

$$+\sum\limits_{l=[m/2]+1}^{m}\dfrac{1}{(l-1)!(m+1-l)}\le\dfrac{1}{m/2+1}\sum\limits_{l=1}^{[m/2]}\dfrac{1}{(l-1)!}+\sum\limits_{l=[m/2]+1}^{m}\dfrac{1}{(l-1)!}\to0.$$

[juna]

Ok. Можно обобщить:

$$\zeta(p)=e\cdot \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{n-k}}{k^p(n-k)!}$$

[juna]

$$\eta(p)=e\cdot \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{n+1}}{k^p(n-k)!}$$

$$\frac{\zeta(p)+\eta(p)}{2}=e\cdot\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil} \frac{(-1)^{n+1}}{(2k-1)^p(n-2k+1)!}$$